Matematické Fórum

drabi · 05. 09. 2013 18:00

Ahoj,
potřebovala bych poradit, kdy Taylorova řada funkce konverguje k funkci f?

Vím, že pokud chci funkci f rozvinout do mocninné řady (a lze-li tak učinit), pak dostanu (z věty o jednoznačnosti rozvoje do MŘ) Taylorovu řadu.

Nemůžu však ani ve svých zápiscích ani ve skriptech najít větu, která by říkala, kdy $f(x) = \sum T^{f,a}_n (x)$ .

Na netu jsem našla větu o tom, že TŘ konverguje k f, pokud $\lim_{n \to \infty} R^{f,a}_n (x) = 0$ , případně, pokud f má stejně omezené derivace všech řádů.

Jsou-li tato tvrzení správná, budu ráda, pokud někdo potvrdí a budu také ráda, existují-li o tomto tématu jiné věty, když je sem napíšete.

Díky moc :)

Brano · 05. 09. 2013 19:56

1) kedy konverguje Taylorov rad to urcit asi vies - napr. Cauchy-Hadamardova veta + nejake hranicne uvahy
2) traz je otazka kedy sa to k comu konverguje rovna samotnej funkcii. Ja o tom miem tolko, ze sa to pouziva ako definicia. t.j. fukncia je analyticka, ak je $C^\infty$ a jej Taylorov rad k nej konverguje.
3) v komplexnej analyze je situacia jednoducha - tam ak je funkcia diferencovatelna (holomorfna) na otvorenej mnozine, tak je rovno analyticka
4) v realnej su zname priklady funkcii co su hladke ( $C^\infty$ ) ale nie analyticke, ale neviem ci su nejake super kriteria o moc ine ako tie co uvadzas.
5) to s tym zvyskom je ocividne, kedze $f=T+R$ tak potom ak $R\to 0$ potom $T\to f$
6) ak pod rovnako ohranicene myslis to, ze na nejakom okoli stredu su okranicene rovnakou konstantou, tak pozi Lagrangeov tvar zvysku a to predchadzajuce tvrdenie