Matematické Fórum

atone · 14. 01. 2009 20:19

Měl bych velikou prosbu. Nebyl by někdo schopný více dopodrobna vysvětlit, jakým způsobem se dojde k závěru,že řada $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{n^2 +1}}$ konverguje?řešeno to bylo již jednou na: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=5867, přesto mi to není zcela jasné. Hlavně to, jaké kritérium bylo nakonec použito. Předem moc děkuji

kaja.marik

treba ja jsem navrhoval vypocitat limitu $\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n\sqrt{n^2 +1}}}{\frac{1}{n^2}}=1$

ve jmenovateli jsou cleny konvergentni rady a limita je vlastni, tak to konverguje

kotry · 14. 01. 2009 20:45

atone · 14. 01. 2009 22:11

↑ kotry:Znamená to, že mohu pouze jednodušše spočílat limitu ${\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n\sqrt{n^2+1 }}={\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{n^2(\frac{1}{n^2 } )}{n^2 \sqrt{1+\frac{1}{n^2 } }}=\frac{0}{1}=0$ ?Pakliže se rovná nule,řada konverguje?

kaja.marik · 14. 01. 2009 23:01

↑ atone:
ne, prectete si pozorne posledni vetu: nemuzeme o chovani rady nic soudit .....

ttopi · 15. 01. 2009 07:34

Tady se nesmí plést věta, že pokud je řada konvergentní, pak limita je 0 s větou, že pokud je limita 0, pak nelze nic usoudit. Každá ta věta má jiný směr.

Pavel · 15. 01. 2009 13:56

↑ atone:

Stačí srovnávací kritérium

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{n^2 +1}}\leq\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{n^2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$

A nyní pomocí integrálního kritéria ukážeš konvergenci řady $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ nebo tuto řadu přímo sečteš - $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ .

Odtud plyne konvergence původní řady.

Marian · 15. 01. 2009 14:26 — Editoval Marian (15. 01. 2009 14:26)

↑ Pavel:
To mě trochu pobavilo (v dobrém smyslu to samozřejmě míním ... :-), že tu řadu přímo sečteš. Ono to není až tak jednoduché, pokud student teprve začíná s nekonečnýni řadami. Nicméně není to nemožné a není k tomu třeba až tak veliký aparát. Byl vynalezen postup, který používá velmi snadný aparát (řekněme středoškolský). Navíc konvergence řady $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$ se dá snadno ukázat srovnáním tak, že se uváží platnost tohoto
$0<1+\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n^2}<1+\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n(n-1)}=1+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}=1+1=2<+\infty .$
Poslední řada vpravo se musela sice také sečíst, ale to jde snadno tzv. teleskopickou metodou.

Matematické Fórum

#1 14. 01. 2009 20:19

konvergence řady

#2 14. 01. 2009 20:30 — Editoval kaja.marik (14. 01. 2009 20:31)

Re: konvergence řady

#3 14. 01. 2009 20:45

Re: konvergence řady

#4 14. 01. 2009 22:11

Re: konvergence řady

#5 14. 01. 2009 23:01

Re: konvergence řady

#6 15. 01. 2009 07:34

Re: konvergence řady

#7 15. 01. 2009 13:56

Re: konvergence řady

#8 15. 01. 2009 14:26 — Editoval Marian (15. 01. 2009 14:26)

Re: konvergence řady

Zápatí