Matematické Fórum

Jakub1 · 10. 09. 2013 21:40

Dobrý deň,

akým spôsobom by ste riešili nasledovnú rovnicu:

$(\sqrt{5+\sqrt{24}})^{x}-10=(\sqrt{5-\sqrt{24}})^{x}$

Ja som postupoval takto:

1. umocnil na druhú;
2. upravil som, dostal som tvar: $(\sqrt{5+\sqrt{24}})^{2x}+(\sqrt{5-\sqrt{24}})^{2x}=102$ ;
3. zvolil som substitúciu: $(\sqrt{5+\sqrt{24}})^{x}=\alpha \wedge (\sqrt{5-\sqrt{24}})^{x}=\beta$ ;
4. kvadratická rovnica, napr.: ;
5. korene (iba kladný): $\beta _1=\sqrt{26}-5$
6. dosadenie, zlogaritmovanie: $x=\frac{2\log_{10}(\sqrt{26}-5)}{\log_{10}(5-2\sqrt{6})}$

Ide mi o to, či je ten postup:
a) korektný,
b) rovnaký, aký by ste (boli) aplikovali vy, resp. či by ste to dokázali vyriešiť jedoduchšie.

Vďaka.

jelena · 10. 09. 2013 22:35

Zdravím,

takové zápisy typu $(\sqrt{5+\sqrt{24}})$ můžeme přepsat $(\sqrt{2+2\sqrt{2\cdot 3}+3})$ nebo použit rozšíření na úžasný vzorec 2.1a a tento vzorec aplikovat na substituci: $(\sqrt{5+\sqrt{24}})^{x}=a$ . Zkus dokončit tuto možnost, mělo by to být o něco pohodlnější.

zdenek1 · 10. 09. 2013 23:44

↑ Jakub1:
Protože
$\frac{1}{5+\sqrt{24}}=5-\sqrt{24}$
můžeme udělat substituci
$\left(\sqrt{5+\sqrt{24}}\right)^x=a$
a celá rovnice přejde na tvar
$a-10=\frac1a$ tím se dostanu rovnou do bodu 4.

zbytek by byl stejný

Matematické Fórum

#1 10. 09. 2013 21:40

Exponenciálna rovnica

#2 10. 09. 2013 22:35

Re: Exponenciálna rovnica

#3 10. 09. 2013 22:36 Příspěvek uživatele Bati byl skryt uživatelem Bati. Důvod: pozdě

#4 10. 09. 2013 23:44

Re: Exponenciálna rovnica

Zápatí