Matematické Fórum

check_drummer · 03. 09. 2013 21:27

Ahoj,
vložím sérii tří otázek, přičemž u prvních dvou hned skryji odpovědi, hlavní otázkou bude tedy až ta třetí. U všech vyjmenovaných útvarů hledáme nejkratší křivku dělící daný útvar na dvě části o polovičním obsahu než útvar původní
1) kruh

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

2) čtverec

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

3) rovnostranný trojúhelník

(Hamletovská otázka zní, zda použít analogie řešení u prvních dvou otázek či nikoli.)

Honzc · 04. 09. 2013 09:23

↑ check_drummer:
Odpověď na Hamletovskou otázku je: ne

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

check_drummer · 05. 09. 2013 19:46

↑ Honzc:
Ahoj, odpověď je ovšem potřeba zdůvodnit.

byk7 · 05. 09. 2013 21:44

2)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

check_drummer · 08. 09. 2013 08:00

↑ byk7:
Ahoj, ale my hledáme nejkratšá takovou...

vanok · 09. 09. 2013 17:44 — Editoval vanok (10. 09. 2013 11:03)

Ahoj ↑ check_drummer:,
Cesta k rieseniu...(limitovane na pripad usecky)
Najprv mozme uvazovat ( bez straty vseobecnosti ) ze pracujeme z trojuholnikom $T$ o strane 1.
jeho obsah je pochopitelne $S=\frac {\sqrt 3} 4$ .
Akoze je evidentne ze rozrezanie trojuholnika useckou na dve rovnake casti pochopitelne da aspon jeden trojuholnik $T^*$ ( urob obrazok), ktoreho obsah je $S^* = \frac S 2$
Vyberme jednu stranu $a^*$ trojuholnika $T^*$ ktora je cast jednej stran $T$ .

Ak dlzka $|a^*|=x$ (ktora je >1/2), vyska na tuto stranu je $h_x=2S^*/ x$
Z toho dlzka usecky rezu je vdaka Pytagorovej vete je ...

Necham ti to dokoncit.... ( osobne som pouzil studium )

Edit:ako ma spravne upozornil kolega Honz ( v nasledujucom prispevku) toto je len krok k rieseniu.

Honzc · 10. 09. 2013 08:54 — Editoval Honzc (10. 09. 2013 10:35)

↑ vanok:
Zdravím,
já tedy nevím, ale ↑ check_drummer: chce toto "...hledáme nejkratší křivku dělící daný útvar na dvě části o polovičním obsahu než útvar původní"
Vypočítat délku křivky (úsečky) je opravdu jednoduché, ale neřeší to úlohu.
Tady jsem spočítal další 3 křivky (části křivek), které dělí rovnostranný trojúhelník na dvě stejné části a jejichž délky jsou menší než délka té úsečky. Domnívám se že tou, která vyhovuje úloze je část kružnice

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 10. 09. 2013 10:56 — Editoval vanok (10. 09. 2013 11:04)

Ahoj ↑ Honzc:,
Dakujem za upozornenie.
Mas pravdu ze takto pridem k najkradcej moznej usecke, ktorej dlzka je majorant dlzky hladanej krivky.
Mozes nam napisat dokaz tvojho tvrdenia?

vanok · 10. 09. 2013 12:12 — Editoval vanok (10. 09. 2013 13:55)

↑ Honzc:
Mas pravdu ze ide o obluk kruznice.
Vdaka isoperimetrickej teoreme vieme, ze kruznica je najkratcia krivka co obsahuje danu plochu.
Uvazujme pravidelny sestuholnik, rozdeleny na 6 rovnostranych trojuholnikov.
Do stredu sestuholnika narysujme kruznicu co obsahuje polovicu jeho plochy. ... A toto da tvoj vysledok.

A hned ma napada problem : ako vyriesit tento problem pre vseobecny trojuholnik?

Honzc · 10. 09. 2013 14:51 — Editoval Honzc (11. 09. 2013 08:23)

cos↑ vanok:
Napadá mě toto:
Trojúhelník se stranami $a\le b\le c$
Platí: proti nejkratší straně je nejmenší úhel
Plochu t. umíme spočítat pomocí Heronova vzorce.
$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ kde $s=\frac{a+b+c}{2}$
Rovněž úhly umíme spočítat.
$\sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$ nebo $\cos \alpha =1-\frac{2(s-b)(s-c)}{bc}$
Umístíme t. do kartézské souřadné soustavy tak, aby vrchol A byl v počátku a strana c splynula s osou x
Pak podle předchozího "Vdaka isoperimetrickej teoreme vieme, ze kruznica je najkratcia krivka co obsahuje danu plochu. " je jednoduché spočítat,že
$r=\sqrt{\frac{S}{\alpha }}$ a $d=\alpha \cdot r=\sqrt{\alpha \cdot S}$

vanok · 10. 09. 2013 18:30

↑ Honzc:,
No ale na dobry dokaz je treba pouzit zovseobecnenu I.T., lebo najmensi uhol nemusi mat mieru ktorej nasobok je $2\pi$ . A tak problem je teraz dokazat tu zovseobecnenu teoremu.

check_drummer · 11. 09. 2013 01:04

↑ vanok:
Ahoj, ano, to je pěkné řešení úlohy. Měl jsem na mysli stejné.

Matematické Fórum

#1 03. 09. 2013 21:27

Nejkratší křivka půlící daný geometrický útvar

#2 04. 09. 2013 09:23

Re: Nejkratší křivka půlící daný geometrický útvar

#3 05. 09. 2013 19:46

Re: Nejkratší křivka půlící daný geometrický útvar

#4 05. 09. 2013 21:44

Re: Nejkratší křivka půlící daný geometrický útvar

#5 08. 09. 2013 08:00

Re: Nejkratší křivka půlící daný geometrický útvar

#6 09. 09. 2013 17:44 — Editoval vanok (10. 09. 2013 11:03)

Re: Nejkratší křivka půlící daný geometrický útvar

#7 10. 09. 2013 08:54 — Editoval Honzc (10. 09. 2013 10:35)

Re: Nejkratší křivka půlící daný geometrický útvar

#8 10. 09. 2013 10:56 — Editoval vanok (10. 09. 2013 11:04)

Re: Nejkratší křivka půlící daný geometrický útvar

#9 10. 09. 2013 12:12 — Editoval vanok (10. 09. 2013 13:55)

Re: Nejkratší křivka půlící daný geometrický útvar

#10 10. 09. 2013 14:51 — Editoval Honzc (11. 09. 2013 08:23)

Re: Nejkratší křivka půlící daný geometrický útvar

#11 10. 09. 2013 18:30

Re: Nejkratší křivka půlící daný geometrický útvar

#12 11. 09. 2013 01:04

Re: Nejkratší křivka půlící daný geometrický útvar

Zápatí