Matematické Fórum

miso16211

dobry deň, mam jednu úlohu kde neviem, ako postupovať
Nájdite všetky prvočísla tvaru $\frac{n\cdot (n-1)}{2}-1$ kde n je prirodzené číslo.

Moj postup: postupne dosadzujem čísla od 1 až po 6. Zistil som, že čísla 3,4 splňujú podmienku, ale čísla 5 a 6 nie.

pre $n\ge 5$ je predpoklad, že neplatí.
Dokázal som pre 5 ( $\frac{5.(4)}{2}-1 =9$ ).
Pre n $n\ge 5$ platí dané tvrdenie $\frac{n\cdot (n-1)}{2}-1=$ že po dosadení do výrazu $n.(n-1)$ nám vyjde kladné číslo.
Potom pre n+1 platí $\frac{(n+1)\cdot n}{2}-2$ že že po dosadení do výrazu $(n+1).n$ nám vyjde kladné číslo.
pre párnost/nepárnost sú tieto vyrazi identické. Teda som dokázal že aj pre n+1 neplatí dane tvrdenie.

Dá sa toto považovať za riešenie? Ďakujem.

nejsem_tonda

Ahoj,
tvemu dukazu nerozumim.

pre $n\ge 5$ je predpoklad, že neplatí.

Vetsinou to chce trochu lepsi predpoklad. Treba ve stylu: pro n>5 je cislo ze zadani delitelne 3. (To ale neni pravda)

Pre n $n\ge 5$ platí dané tvrdenie $\frac{n\cdot (n-1)}{2}-1=$ že po dosadení do výrazu $n.(n-1)$ nám vyjde kladné číslo.

Takze ty dokazujes jen to, ze vyjde kladne cislo?

Zatim se jaksi smerem k dukazu nic nestalo. Zkusil bych treba dosadit si zvlast suda a licha (parna a neparna) cisla a hledat nejakeho delitele.

Eratosthenes · 12. 09. 2013 22:59

↑ miso16211:

Ahoj,

nevím, proč indukcí. Dokázal bych to přímo:

$\frac{n\cdot (n-1)}{2}-1 = \frac{n\cdot (n-1)-2}{2}= \frac{n^2-n-2}{2} = \frac{(n-2)(n+1)}{2}$

Má smysl uvažovat jen n>2, jinak to není přirozené číslo.

Je-li n sudé, je $\frac{n-2}{2}$ přirozené, takže pro dané číslo c je

$c = \frac{n-2}{2} \cdot (n+1) = r\cdot s$ ,

kde r;s jsou přirozená čísla.

Je-li n liché, je $\frac{n+1}{2}$ přirozené, takže

$c = (n-2) \cdot \frac {n+1} {2} = u\cdot v$ ,

kde u;v jsou přirozená čísla.

Pro n>2 lze tedy dané číslo vždy rozložit na součin přirozených čísel a může to být prvočíslo jen v případě, kdy buď r =1; s=5, tj. n=4 (první případ), anebo u=1; v=2, tj. n=3 (druhý případ). Ve všech ostatních případech je to číslo složené.

miso16211 · 13. 09. 2013 10:29

↑ Eratosthenes:
a skade vies ze iba r=1 a s = 5? preco nemoze byt s napr. s=11 ?

Eratosthenes · 13. 09. 2013 10:58

↑ miso16211:

Když je s= n+1 = 11, je n=10. Pak je

$r= \frac{n-2}{2} = \frac {10-2}{2} = 4$

a r.s = 4.11 = 44 není prvočíslo.

Číslo ve tvaru součinu dvou přirozených čísel může být prvočíslo pouze v případě, že jeden činitel je jednička (ten druhý je pak automaticky číslo samo). Takže musí být buď

$\frac {n-2}{2} = 1$

anebo

$n+1 = 1$

Jiná možnost není, všechno ostatní jsou čísla složená.

miso16211 · 13. 09. 2013 11:34

↑ Eratosthenes:
jó, diki.

Matematické Fórum

#1 12. 09. 2013 17:11 — Editoval miso16211 (12. 09. 2013 17:21)

dôkaz na matematickú indukciu

#2 12. 09. 2013 21:13 — Editoval nejsem_tonda (12. 09. 2013 21:13)

Re: dôkaz na matematickú indukciu

#3 12. 09. 2013 22:59

Re: dôkaz na matematickú indukciu

#4 13. 09. 2013 10:29

Re: dôkaz na matematickú indukciu

#5 13. 09. 2013 10:58

Re: dôkaz na matematickú indukciu

#6 13. 09. 2013 11:34

Re: dôkaz na matematickú indukciu

Zápatí