Matematické Fórum

Dvorka · 13. 09. 2013 10:49

Zdravím, potřeboval bych poradit s tímto příkladem jak na to?

Bod A a B jsou spojeny tyčí o délce L. Bod A se pohybuje po ose x a bod B po ose y souřadnicového systému. Zadáno je zrychlení bodu A v závislosti na rychlosti tohoto bodu. Určete kinematické veličkyn bodu A a B v závislosti na poloze bodu A, tj. na souřadnici xa.
D: aA=3vA, vA(0)=vA0, xA(0)=0,L,
U: vA(xA),aA(xA),yB(xA),vB(xA),aB(xA)
//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-09/62114_kinematika.png

Rumburak

↑ Dvorka:

Zdravím.

Zadáno je zrychlení bodu A v závislosti na rychlosti tohoto bodu

Zadání

(1) $a(t) = 3v(t)$

lze vyjádřit diferenciální rovnicí

(2) $x''(t) = 3x'(t)$ ,

kde $x(t)$ je x-ová souřadnice bodu $A$ v okamžiku $t$ (protože $x'(t)$ , tedy derivace podle $t$ , má fyzikální výzmam rychlosti v okamžiku $t$ ,
obdobně $x''(t)$ je zrychlení v okamžiku $t$ ). Diferenciální rovnici (2) vyřeš s ohledem na poč. podmínky.

Z Pythagorovy věty plyne pro y-ovou souřadnici bodu $B$ vztah $y(t) = \sqrt{L^2 - x^2(t)}$ , z něho derivací podle $t$ zjistíš okamžitou rychlost
a druhou derivací okamžité zrychlení bodu $B$ (znaménko bude určovat orientaci změny).

V této fázi řešení jsou kimematické veličiny funkcemi času. Z rovnice $x=x(t)$ lze vyjádřit $t=t(x)$ a to dosadit do ostatních rovnic,
tím budou příslušné veličiny vyjádřeny jako funkce polohy.

Dvorka · 13. 09. 2013 17:44

↑ Rumburak:

jestli to chápu dobře a počítám správně tak to je takto?
$a=\frac{dv}{dt}=v.\frac{dv}{dx}=3va , 3va.dxa=va.dva, \int_{0}^{xa}dxa=\frac{1}{3}\int_{va0}^{va(xa)}=> va(xa)=va0+3xa$

když tento výsledek integruju, dostanu aa(xa) což mi vychází $\int_{}^{}va0+\int_{}^{}3xa=vao^{2}/2 + 3xa^{2}/2$ a co dál?

Dvorka · 13. 09. 2013 17:56

↑ Dvorka:
potom tedy ze vztahu $L^{2}=xa^{2}+yb^{2}=> yb^{2}=L^{2}-xa^{2}$ dosadím za xa $xa=1/3(va(xa)-va0)$ následně ještě dosadím za va(xa) to co mi vyšlo úplně jako první , celý vztah odmocním a dostanu yb(xa)??? následně když tento výraz zderivuji dostanu vb(xa) a znovu tak dostanu ab(xa) ne to pravda nebo ne?

zdenek1 · 13. 09. 2013 19:17

↑ Dvorka:

jestli to chápu dobře a počítám správně tak to je takto?

Není. Jednak je to naprosto zmatené, druhak je to špatně. Jen začátek
$a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}=3v$
$\frac{\mathrm{d} v}{v}=3\text{d}t$
$\int \frac{\mathrm{d} v}{v}=3\int\text{d}t$
$\ln v=3t+C$
z počátečních podmínek
$\ln v_0=C$
$\ln \frac{v}{v_0}=3t$

$v=v_0\cdot e^{3t}$

a můžeš pokračovat

Dvorka · 13. 09. 2013 19:19

↑ zdenek1:
ale ale já to potřebuji podle xa a ne podle t.

zdenek1 · 13. 09. 2013 19:22

↑ Dvorka:
Tak pokračuj podle návodu od ↑ Rumburak:
$x=\int v\,\text dt$

Dvorka · 13. 09. 2013 19:26

↑ zdenek1:
to co jsi sem napsal jako výsledek mám tedy integrovat podle t?

Dvorka · 13. 09. 2013 19:29

↑ Dvorka:to mi vyjde $\frac{1}{3}e^{3t}.vo$

Dvorka · 13. 09. 2013 19:34

↑ Dvorka: když to integruju znovu tak dostanu $\frac{1}{9}e^{3t}.vo$

zdenek1 · 13. 09. 2013 19:37

↑ Dvorka:
dobře
$x(t)=\frac{v_0}{3}\cdot e^{3t}$

Potřetí už nic neintegruješ
Teď jsme u bodu 2)

a přichází

$y(t) = \sqrt{L^2 - x^2(t)}$ z něho derivací podle $t$ zjistíš okamžitou rychlost a druhou derivací okamžité zrychlení bodu $B$ (znaménko bude určovat orientaci změny).

Dvorka · 13. 09. 2013 19:49

↑ zdenek1: po derivaci první mi vyšlo : //forum.matweb.cz/upload3/img/2013-09/94587_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.png

Dvorka · 13. 09. 2013 19:53

↑ Dvorka: druhá derivace mi vyšla : //forum.matweb.cz/upload3/img/2013-09/94795_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.png

zdenek1 · 13. 09. 2013 21:52

↑ Dvorka:
Tak teď z
$x(t)=\frac{v_0}{3}\cdot e^{3t}$
vyjádříš $t$ a dosadíš do všech těch vztahů
$a_A=3v_0e^{3t}$
$v_A=v_0e^ {3t}$
$y$
$y^\prime$
$y^{\prime\prime}$

Dvorka · 14. 09. 2013 09:16

↑ zdenek1: když tak udělám vyjde mi $t=\ln \frac{v}{3vo}$ a po dosazení do všech to bude vypadat takto: např : $a_{A}=3v_{0}.e^{3\ln \frac{v}{3vo}}$ to je tedy zrychlení bodu A v závislosti na xA , to samé s va bude v závislosti na xA, a y,y´,y´´ jsou po dosazení vypočteného t poloha, rychlost a zrychlení bodu B v závislosti na xa ??? a mělo by to být spočítané???

Rumburak

↑ Dvorka:

Nějak takto by to mohlo vyjít, ale k zodpovědnému posouzení si to potřebuji spočítat sám, tak budu počítat rovnou sem.

Máme dif. rovnici $x''(t) = 3x'(t)$ , kterou vyřešíme např. následovně:
$\frac{x''(t)}{x'(t)} = 3 \\ $\ln x'(t)$' = 3 \\ \ln x'(t) = 3t + A \\ x'(t) = \mathrm{e}^{3t+A} = B\mathrm{e}^{3t} \\x(t) =\frac{1}{3}\,B\mathrm{e}^{3t} + C$ .

(Už je vidět, že v Tvém výpočtu je chyba vzniklá opomenutím integrační konstanty $C$ ).
Dosazením podmínky xA(0)=0 , pokud ji správně intepretuji jako $x(0) = 0$ (počáteční poloha bodu $A$ ) ,
dostáváme algebraickou rovnici

(1) $0 =\frac{1}{3}\,B + C$ ,

podobně z podminky vA(0)=vA0 , pokud ji správně čtu jako $x'(0) = v_0$ (počáteční rychlost bodu $A$ ) máme

(2) $v_0 = B$ .

Dosazením (2) do (1) získáváme $C = -\frac{1}{3}\,v_0$ , takže celkem

(3) $x(t) =\frac{1}{3}\,v_0\mathrm{e}^{3t} -\frac{1}{3}\,v_0 = \frac{1}{3}\,v_0 $\mathrm{e}^{3t} -1$$ ,

což je předpis určující polohu bodu $A$ v okamžiku $t$ . Pro naši úlohu má ovšem smysl pouze pro $t \in \langle 0, T\rangle$ , kde $T$ je
okamžik, v němž bod $A$ dosáhne polohy $[L, 0]$ na ose x . Dá se spočítat z rovnice $L =\frac{1}{3}\,v_0 $\mathrm{e}^{3T} -1$$ .

První derivací rovnice (3) dostaneme předpis pro okamžitou rychlost bodu $A$ , druhou derivací předpis pro okamžité zrychlení,
prozatím v závislosti na čase.

Pro okamžitou polohu bodu $B$ na ose y bude dle (3)

$y(t) = \sqrt{L^2 - x^2(t)} = \sqrt{L^2 -\frac{1}{9}\,v_0^2 $\mathrm{e}^{3t} -1$^2}$ ,

$y'(t) , y''(t)$ budou po řadě okamžitá rychlost a okamžité zrychlení jako funkce času.

Konečně z (3) vyjádříme inversní funkci

$t(x)=\frac{1}{3}\,\ln$\frac{3x}{v_0} + 1$$ .

Odtud dosazením např. do vztahu $v(t) = x'(t) = v_0 \mathrm{e}^{3t}$ pro rychlost bodu $A$ v závislosti na čase získáme

$v(x) = v_0 \mathrm{e}^{3t(x)} = v_0 \mathrm{e}^{3\cdot \frac{1}{3}\,\ln$\frac{3x}{v_0} + 1$} =v_0 \mathrm{e}^{\ln$\frac{3x}{v_0} + 1$} = v_0 $\frac{3x}{v_0} + 1$ = 3x + v_0$ ,

tedy rychlost bodu $A$ v závislosti na jeho poloze.

Analogicky i v ostatních případech (i když k tomu nutné dopočítávání derivací $y'(t) , y''(t)$ bude poněkud nezáživné).