Matematické Fórum

sugyman

Dobrý den, mám problém s rovnicí $x^{3}-y^{3}-3^{5}z^{3}=18xyz$ v oboru $\mathbb{N}$
všechny proměné jsou po dvou nesoudělné a z je sudé. Potřebuju dokázat, že nemá řešení. Děkuji

N3st4 · 26. 08. 2013 21:28

Dobrý deň. Môj postup nie je ani zďaleka elegantný, ale účel by to malo splniť.

$x^{3}-y^{3}-3^{5}z^{3}=18xyz$

Vyriešením tejto rovnosti pre z, dostaneme (z wolframu). Môže sa to prekontrolovať, ale verím, že kubické rovnice zráta.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% … E3%3D36xyz

- namiesto premennej z som použil 2z, keďže z má byť párne.
- uvažujeme len to prvé riešenie, lebo komplexné čísla nás momentálne nezaujímajú

Len prepíšem to čudo ... rozdelím ho na dva sčítance, lebo sa to zle prepisuje ...

$z=z_{1}-z_{2}$

$z_{1}=\frac{\sqrt[3]{2}xy}{9\sqrt[3]{-3x^{3}+3y^{3}+\sqrt{9x^{6}+14x^{3}y^{3}+9y^{6}}}}$
$z_{2}=\frac{\sqrt[3]{-3x^{3}+3y^{3}+\sqrt{9x^{6}+14x^{3}y^{3}+9y^{6}}}}{18\sqrt[3]{2}}$

Všimnime si, že menovateľ z_1 a čitateľ z_2 sú dosť podobné až na konštantu 9. Označme tú tretiu odmocninu (*).
Našim cieľom je nájsť prirodzené x,y tak, aby z bolo tiež prirodzené. To znamená, že keď pri prirodzených x,y dosiahneme, aby (*) bola nejaký prirodzený alebo celý násobok $\sqrt[3]{2}$ máme skoro vyhraté.
Napíšem, čo myslím:

Ak $\sqrt[3]{-3x^{3}+3y^{3}+\sqrt{9x^{6}+14x^{3}y^{3}+9y^{6}}}=k\sqrt[3]{2}$ , potom
$z=\frac{a}{9k}-\frac{k}{18}$ , kde a je nejaká rozumná konštanta (prirodzená).

Teda otázka znie či platí:
$\sqrt[3]{-3x^{3}+3y^{3}+\sqrt{9x^{6}+14x^{3}y^{3}+9y^{6}}}=k\sqrt[3]{2}$
Na to, aby to platilo potrebujeme, aby ${-3x^{3}+3y^{3}+\sqrt{9x^{6}+14x^{3}y^{3}+9y^{6}}}=2k^{3}=2l$ , no a k tomuto je potrebné, aby $\sqrt{9x^{6}+14x^{3}y^{3}+9y^{6}}$ prirodzené číslo. A to je len vtedy ak to pod odmocninou je štvorec.
No a to štvorec nie je. Tým by sme mali skončiť, lenže práve ma napadlo, že som nerozobral možnosť, že to štvorec bude ak x alebo y bude nula.
Teraz ide o to či nulu považuješ za prirodzené číslo. Ak nie, tak sme hotoví. Ak áno treba ...

byk7 · 27. 08. 2013 15:44

↑ N3st4:

Ahoj, předpokládám, že jsi vycházel z tvaru $9x^{6}+14x^{3}y^{3}+9y^{6}=9$x^3+y^3$^2-4(xy)^3$ .
Jak ale můžu vědět, že pro nějaká vhodná $(x,y)$ neexistuje takové $K\in\mathbb{N}$ které splňuje rovnici
$9$x^3+y^3$^2-K^2=4(xy)^3$ ?

N3st4 · 27. 08. 2013 16:18

No pretože, keby také K existovalo platí:

$9$x^3+y^3$^2-K^2=4(xy)^3$
$K^{2}=9(x^3+y^3)^2-4(xy)^3$
To znamená, že pravá strana musí byť štvorcom nejakého čísla (prirodzeného). No a jediná možnosť ako dostať na pravej strane štvorec z prirodzeného čísla je tá, že pravá strana je v tvare štvorca. A to je spor, lebo pravá strana nemôže byť štvorcom. Hlavnú váhu v tejto úvahe má to, že K musí byť prirodzené. Pri nejakom iracionálom čísle by tento argument neprešiel.

Môžno, keď sa to vezme z inej strany, tak je to jasnejšie. Jediný spôsob, kedy môže byť rozdiel dvoch celých čísel,
( $9(x^3+y^3)^2-4(xy)^3$ ) štvorcom prirodzeného čísla je len vtedy, ak sa ten rozdiel dá napísať ako štvorec. (To je jasné.) Lenže v tomto prípade to nejde.

Dáva to zmysel?

check_drummer · 31. 08. 2013 20:22

↑ sugyman:
Ahoj, kam jsem zatím dospěl (moc toho není):

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

sugyman · 12. 09. 2013 21:25

Tak můj učitel matiky (prof. Bulant) mi napsal, že jemu se to nepodařilo dokázat elementárně (kongruence apod.). Nicméně dokázal neřešitelnost rovnice pomocí její transformace na eliptickou křivku, o niz se pote
dokáže, že nemá žádné (netrivialni) racionalni body. Tímto to asi uzavírám :)

vanok · 13. 09. 2013 15:52

Ahoj ↑ sugyman:,
Tak nam tu posli to tvoje riesenie co ti dal tvoj profesor.

byk7 · 13. 09. 2013 20:33

↑ vanok:

Profesor Bulant nám žádné řešení nedal, pouze to okomentoval se slovy, že elementárními prostředky se mu to vyřešit nepodařilo. Po převedení na eliptickou křivku pak dokázal, že rovnice nemá řešení.

Mimochodem, tato rovnice vznikla úpravou rovnice $a^3+b^3=c^3$ , což je "další" tvrzení zajišťující neřešitelnost zadané rovnice.

vanok · 13. 09. 2013 21:28

Ahoj ↑ byk7:,
no ta druha moznost je pristupnejsia.
To naznacene riesenie ma zaujimalo, lebo podla mna,na pouzitie eliptickych kriviek je treba zvolit jednu z neznamych ako parameter, ktory potom popisuje "rodinu" eliptickych kriviek.
No ale v aritmetike je casto vela, a niekedy prekvapivych, rieseni.

Matematické Fórum

#1 26. 08. 2013 16:43 — Editoval sugyman (26. 08. 2013 17:55)

Diofantická rovnice, důkaz neexistence řešení

#2 26. 08. 2013 21:28

Re: Diofantická rovnice, důkaz neexistence řešení

#3 27. 08. 2013 15:44

Re: Diofantická rovnice, důkaz neexistence řešení

#4 27. 08. 2013 16:18

Re: Diofantická rovnice, důkaz neexistence řešení

#5 31. 08. 2013 20:22

Re: Diofantická rovnice, důkaz neexistence řešení

#6 12. 09. 2013 21:25

Re: Diofantická rovnice, důkaz neexistence řešení

#7 13. 09. 2013 15:52

Re: Diofantická rovnice, důkaz neexistence řešení

#8 13. 09. 2013 20:33

Re: Diofantická rovnice, důkaz neexistence řešení

#9 13. 09. 2013 21:28

Re: Diofantická rovnice, důkaz neexistence řešení

Zápatí