Matematické Fórum

Ivulka · 15. 01. 2009 19:46

Ahojky, nepomohl by mi prosím někdo se soustavou rovnic? Nemůžu se dobrat k výsledku.
x^2 + y^2 + y^2 = 14
xy + xz - yz = 7
x + y + z = 6
Předem moc děkuju za rady.

jendula11 · 16. 01. 2009 08:38

čistě náhodou nemá být v té první rovnici z^2????

Cheop · 16. 01. 2009 09:24 — Editoval Cheop (16. 01. 2009 10:22)

↑ Ivulka:
$x^2+y^2+z^2=14\nlxy+xz-zy=7\nlx+y+z=6$ třetí rovnici umocníme na druhou a od takto upravenou rovnici odečteme první rovnici:
$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)=36$
$x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)=36\nl-x^2-y^2-z^2=-14\nl2(xy+xz+yz)=22\nlxy+xz+yz=11$
tuto rovnici porovnáme s druhou rovnicí a dostaneme:
$xy+xz+yz=11\nlxy+xz-yz=7\nlxy+xz=9\nlx(y+z)=9\nly+z=\frac 9x$ ze třetí rovnice vyjádříme součet y+z tj:
$x+y+z=6\nly+z=6-x$ takže dostáváme:
$6-x=\frac 9x\nlx^2-6x+9=0\nlx=3$
Dále platí:
$xy+xz=9\nlxy+xz+yz=11\,\Rightarrow\nlyz=2$ teď už stačí porovnat:(po dosazení za x = 3 do třetí rovnice)
$y+z=3\nlyz=2\nly(3-y)=2\nly^2-3y+2=0\nly_1=2\nly_2=1$
$y+z=3\nlz=3-y\nlz_1=1\nlz_2=2$

Řešením tedy je: (x, y, z)=(3, 2, 1) nebo (3, 1, 2)