Matematické Fórum

domin.a

Zdravím, chtěla bych se zeptat, jak by se řešily tyto příklady. Vůbec si nevím rady s úpravou. Děkuji za odpověď.
$1)\frac{\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}{x^{2}}$
$2)ln^{3}(x^{2}-1)$
$3)sin^{3}x^{2}$

marnes · 18. 09. 2013 19:30

↑ domin.a:

1) nejdříve upravit na jednu odmocninu
2) lepší tvar je $2)(ln(x^{2}-1))^{3}$ a jako složenou

domin.a · 18. 09. 2013 19:37

↑ marnes:
$1)[x(x)^{\frac{1}{2}}]^{\frac{1}{3}}$

marnes · 18. 09. 2013 19:39

↑ domin.a:
a to jde ještě zjednodušit a nemáš tam jmenovatel

domin.a · 18. 09. 2013 19:44

↑ marnes:
$1)\frac{[x(x)^{}]^{\frac{1}{6}}}{x^{2}}$

marnes · 18. 09. 2013 19:49

↑ domin.a:
to ne!

$x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{6}}\cdot x^{-2}=x^{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+(-2)}$

marnes · 18. 09. 2013 19:51

↑ domin.a:

3) opět $(sinx^{2})^{3}$ a jako složenou

domin.a · 18. 09. 2013 19:56

↑ marnes:
$1)-\frac{3}{2}x^{\frac{-5}{2}}$ po derivaci?

domin.a

$2)3*(ln(x^{2}-1)^{2}*\frac{1}{x}(x^{2}-1)*2x$ příklad dvě po derivaci?

marnes · 18. 09. 2013 20:01

↑ domin.a:
$1)-\frac{3}{2}x^{\frac{-5}{2}}$ ano

marnes · 18. 09. 2013 20:03 — Editoval marnes (18. 09. 2013 20:03)

↑ domin.a:
takto

$2)3*(ln(x^{2}-1))^{2}*\frac{1}{x^{2}-1}*2x$

domin.a

↑ marnes:
takže $ln=\frac{1}{x}$ a to x je celé x^2-1 ?

marnes · 18. 09. 2013 20:08

↑ domin.a:

$lna=\frac{1}{a}$ jestliže je $a=x^{2}-1$ pak místo a píšu výraz, který logaritmujeme

domin.a · 18. 09. 2013 20:10

↑ marnes:
a který výraz my logartimujeme tedy?

byk7 · 18. 09. 2013 20:20

↑ domin.a:

Existuje jedno pravidlo, některým zde na fóru známé jako Kondr-Kobzovo cibulové pravidlo, které říká, že si složenou funkci máme představit jako cibuli a jednotlivé "vnořené" funkce jako vrstvy cibule, které při derivaci postupně zpracováváme.

Takže k druhé příkladu.
Označme
$F(x):&=\ln^3$x^2-1$ \\ f(x):&=x^3 \\ g(x):&=\ln(x) \\ h(x):&=x^2-1,$
potom zřejmě dostáváme
$F(x)=f\Big(g\big(h(x)\big)\Big)$ ,
podle Kondr-Kobzova cibulového pravidla tak dostávám
$F'(x)=$f\Big(g\big(h(x)\big)\Big)$'=f'\Big(g\big(h(x)\big)\Big)\cdot g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x)$ ,
teď už jen dosadit a spočítat:
$f'(x)=2x^3\quad&\Rightarrow\quad f'\Big(g\big(h(x)\big)\Big)=3\ln^2$x^2-1$ \\ g'(x)=\frac1x\quad&\Rightarrow\quad g'\big(h(x)\big)=\frac{1}{x^2-1} \\ h'(x)=2x\quad&$ ,
spojením všech výsledků dostáváme, že
$\large\boldsymbol{\color{blue}F'(x)=}\color{black}3\ln^2$x^2-1$\cdot\frac{1}{x^2-1}\cdot2x\color{blue}\boldsymbol{=\frac{6x\ln^2$x^2-1$}{x^2-1}}$

Matematické Fórum

#1 18. 09. 2013 19:27 — Editoval domin.a (18. 09. 2013 19:32)

složené funkce-derivace

#2 18. 09. 2013 19:30

Re: složené funkce-derivace

#3 18. 09. 2013 19:37

Re: složené funkce-derivace

#4 18. 09. 2013 19:39

Re: složené funkce-derivace

#5 18. 09. 2013 19:44

Re: složené funkce-derivace

#6 18. 09. 2013 19:49

Re: složené funkce-derivace

#7 18. 09. 2013 19:51

Re: složené funkce-derivace

#8 18. 09. 2013 19:56

Re: složené funkce-derivace

#9 18. 09. 2013 20:00 — Editoval domin.a (18. 09. 2013 20:01)

Re: složené funkce-derivace

#10 18. 09. 2013 20:01

Re: složené funkce-derivace

#11 18. 09. 2013 20:03 — Editoval marnes (18. 09. 2013 20:03)

Re: složené funkce-derivace

#12 18. 09. 2013 20:06 — Editoval domin.a (18. 09. 2013 20:06)

Re: složené funkce-derivace

#13 18. 09. 2013 20:08

Re: složené funkce-derivace

#14 18. 09. 2013 20:10

Re: složené funkce-derivace

#15 18. 09. 2013 20:20

Re: složené funkce-derivace

Zápatí