Matematické Fórum

petronius

Dobrý deň vedel by mi niekto pomôcť s týmto príkladom http://www.ddp.fmph.uniba.sk/~bohm/metody/derivacie.pdf cvičenie 1.4 príklad 1.5 šikmý vrh.Prepáčte za odkaz ale je k nemu aj obrázok.Viem že je treba ( ak sa nemýlim) vyjadriť závislosť l od $\alpha$ a spraviť deriváciu podľa $\alpha$ len nerozumiem výsledku.Ďakujem za každú prípadnú pomoc.

Jj · 18. 09. 2013 18:36

↑ petronius:

Zdravím,
řekl bych, že tak, jak uvádíte:

1. Rovnice parabolické dráhy šikmého vrhu v závislosti na alfa.
2. Najít bod A = průsečík paraboly dráhy a přímky y = tg(beta)*x
3. 'l' = vzdálenost bodu A od počátku, ta by kromě alfa měla záviset i na beta.
3. Najít podmínku pro alfa maximalizující vzdálenost 'l' (z "derivace 'l' podle alfa = 0").
Měl byste dostat uváděný výsledek.

petronius · 18. 09. 2013 19:20

↑ Jj:
Takže napísal som si rovnice pre šikmý vrh ( pre x a y ) priesečník A (resp. čas kedy sa pretnú) som dostal z uvedenej rovnosti vyjadril si l z funkcie cos(beta)=x\l kde som v x dosadil čas pretnutia dostal som závislosť l od alfa zderivoval podľa alfa dal rovné 0 no ten výsledok mi nevyšiel robím niečo zle?

Jj · 18. 09. 2013 19:39

↑ petronius:

Za x nemůžete dosazovat čas protnutí.

Zkusím to taky spočítat a napíšu.

petronius · 18. 09. 2013 19:48

↑ Jj: Predpokladám že som sa stratil v rovnici pre x som dosadil čas pretnutia z rovnosti y = tg(beta)*x to nebolo správne?

zdenek1

↑ petronius:
Základní rovnice jsou
$\begin{cases}x=v_0t\cos\alpha\\y=v_0t\sin\alpha-\frac12gt^2\end{cases}$
Z první rovnice
$t=\frac{x}{v_0\cos\alpha}$
dosadíš do druhé
$y=x\tan\alpha -\frac{gx^2}{2v_0^2\cos ^2\alpha }$
To je rovnice šikmého vrhu.
Průsečík s přímkou $y=x\tan\beta$
(bod [0;0] nás nezajímá) je
$x\tan\beta =x\tan\alpha -\frac{gx^2}{2v_0^2\cos ^2\alpha }$
$x_A=\frac{2v_0^2}{g}(\tan\alpha -\tan\beta )\cos ^2\alpha$
Pak $y_A=x_A\tan\beta$
a vzdálenost $l=|OA|=\sqrt{x_A^2+y_A^2}=x_A\sqrt{1+\tan^2\beta }$
Nyní potřebujemem spočítat
$\frac{\mathrm{d} l}{\mathrm{d} \alpha }=0$
Ale konstanty ná přitom nezajímají, takže stačí spočítat
$\frac{\mathrm{d}[(\tan\alpha -\tan\beta )\cos ^2\alpha] }{\mathrm{d}\alpha }=\cos 2\alpha +\text{tg}\beta \sin 2\alpha$
rovnice
$\cos 2\alpha +\text{tg}\beta \sin 2\alpha =0$
dává
$\text{cotg}\,2\alpha=-\tan\beta$
což by měla být odpověď a možná je to i stejné jako ve výsledkách (nekontroloval jsem)

Edit: Tak je to stejné, stačí použít $\text{cotg}\,2\alpha =\frac{\text{cotg}\,\alpha -\tan\alpha }{2}$ a upravit

petronius · 18. 09. 2013 20:43

↑ zdenek1: Tak mi to vyšlo len som mal postup v inom poradí.V odpovedi je tg(alfa)=tg(beta)+(1/cos(beta) práve tomu výsledku nerozumiem.

zdenek1 · 18. 09. 2013 20:55

↑ petronius:
$\frac{\text{cotg}\,\alpha -\tan\alpha }{2}=-\tan\beta$
$\frac{1}{\tan\alpha}-\tan\alpha =-2\tan\beta$
$\tan^2\alpha-2\tan\beta\tan\alpha-1=0$
Kv. rce. řešení
$\tan\alpha=\tan\beta\pm\sqrt{\tan^2\beta+1}$
"mínus" nás nezajímá, byly bysme ve druhém nebo 4. kvadrantu, což je fyzikálně nevhodné.
a pod odmocninou
$\sqrt{\tan^2\beta+1}=\sqrt{\frac{\sin ^2\alpha }{\cos ^2\alpha }+1}=\sqrt{\frac{\sin ^2\alpha +\cos ^2\alpha }{\cos ^2\alpha }}=\frac{1}{\cos \alpha }$

Jj · 18. 09. 2013 20:57

↑ zdenek1:

Takže hotovo :)

petronius · 18. 09. 2013 20:59

↑ zdenek1: V poriadku overoval som si to podobne len som spravil zle úpravu.Len netuším načo je tam riešenie síce v krajšom no na overenie náročnejšom tvare.V každom prípade ďakujem za pomoc.

Matematické Fórum

#1 18. 09. 2013 18:08 — Editoval petronius (18. 09. 2013 18:15)

Derivácia-extrém šikmý vrh

#2 18. 09. 2013 18:36

Re: Derivácia-extrém šikmý vrh

#3 18. 09. 2013 19:20

Re: Derivácia-extrém šikmý vrh

#4 18. 09. 2013 19:39

Re: Derivácia-extrém šikmý vrh

#5 18. 09. 2013 19:48

Re: Derivácia-extrém šikmý vrh

#6 18. 09. 2013 20:38 — Editoval zdenek1 (18. 09. 2013 20:47)

Re: Derivácia-extrém šikmý vrh

#7 18. 09. 2013 20:43

Re: Derivácia-extrém šikmý vrh

#8 18. 09. 2013 20:55

Re: Derivácia-extrém šikmý vrh

#9 18. 09. 2013 20:57

Re: Derivácia-extrém šikmý vrh

#10 18. 09. 2013 20:59

Re: Derivácia-extrém šikmý vrh

Zápatí