Matematické Fórum

domin.a · 19. 09. 2013 21:03

dobrý den, jak by byla derivace této funkce? y=x* ln *x? Děkuji.

byk7 · 19. 09. 2013 21:06

Derivuj to jako součin funkcí.

domin.a

↑ byk7:
chtěla bych se ještě zeptat.....často se mi plete ...že mám funkci a ta má argument a nevím jak rozeznat argument funkce a složenou funkci od sebe

byk7 · 19. 09. 2013 21:29

↑ domin.a:

Když je nějaká funkce složená, tak jsou do sebe vnořeny nějaké jiné funkce. Radši uvedu pár příkladů:

1) Obecně bude $f(x)$ složená právě tehdy, když existují funkce $g(x)$ a $h(x)$ , pro které platí $f(x)=g\big(h(x)\big)$ . Samozřejmě $h(x)$ může být znova složená, takže se budou dál vnořovat.

2) Např. funkci $f(x)=(x-1)^2$ můžeš považovat za složenou, protože máme $g(x)=x^2$ a $h(x)=x-1$ .

3) Funkce $f(x)=\sin^2$x^2$$ je složená, protože můžeme psát $f(x)=g\Big(h\big(g(x)\big)\Big)$ kde $g(x)=x^2$ a $h(x)=\sin(x)$ .

4) $f(x)=\ln(\ln(\ln(x)))$ je složená, protože máme $f(x)=g\Big(g\big(g(x)\big)\Big)$ kde $g(x)=\ln(x)$ .

Příkladů se dají vymyslet mraky (dokonce bych řekl, že jich je nekonečně mnoho, ale tím si zas tak jistý nejsem. :-)

domin.a · 19. 09. 2013 21:36

↑ byk7:
a proč třeba funkce $y=x^{4}\sqrt{x^{2}}$ není složená?

byk7 · 19. 09. 2013 21:39

↑ domin.a:

Ne, to je součin funkcí.

domin.a · 19. 09. 2013 21:42

↑ byk7:
a co když bude součin složených funkcí?

byk7 · 19. 09. 2013 21:55

Dobře, řekněme, že $f(x)=f_1(x)f_2(x)$ kde $f_j=g_j\big(h_j(x)\big)$ pro $j\in\{1,2\}$ .
Pak máme
$f'(x)&=\big(f_1(x)f_2(x)\big)'= \\ &=f_1'(x)f_2(x)+f_1(x)f_2'(x)= \\ &=$g_1\big(h_1(x)\big)$'f_2(x)+f_1(x)$g_2\big(h_2(x)\big)$'= \\ &=g_1'\big(h_1(x)\big)h_1'(x)f_2(x)+f_1(x)g_2'\big(h_2(x)\big)h_2'(x)= \\ &=g_1'\big(h_1(x)\big)h_1'(x)g_2\big(h_2(x)\big)+g_1\big(h_1(x)\big)g_2'\big(h_2(x)\big)h_2'(x)$