Matematické Fórum

stereo-total-music · 19. 09. 2013 20:37

Závisle proměnné goniometrické funkce $f(x) = sin(x)$ nabývají hodnot $H(f) = <-1;1>$ . Funkce g je složená $g(x) = tg(sin(x))$ . Do tangenty tedy dosazujeme funkční hodnoty funkce f. Nechápu však, jaký rozměr mají $H(f)$ , jaký mají vztah k úhlovým jednotkám. Existuje pro to nějaká formule, nebo se při zadání musí definovat jednotky na ose souřadnic $y$ funkce $f$ ?

byk7 · 19. 09. 2013 21:03

Funkce $h(x):=\tan(x)$ je na intervalu $\left\langle-\frac\pi2,\,\frac\pi2\right\rangle$ prostá, proto bude prostá i na intervalu $\langle-1,1\rangle\subset\left\langle-\frac\pi2,\,\frac\pi2\right\rangle$ .
Podle tvého zadání platí $H(f)=D(g)$ a $H(g)=\big\langle\tan(-1),\tan(1)\big\rangle\approx\langle-1,557;\,1,557\rangle$ .

Ono řešit nějaký rozměr nemá moc smysl, protože ty do (goniometrické) funkce vložíš číslo s rozměrem stupňů a vyleze ti bezrozměrný výsledek, proto se spíš používá jednotka radián (zn. rad), která nemá (fyzikální) rozměr. Je to prostě číslo.

stereo-total-music · 19. 09. 2013 22:11

Takže je dohodnuté, že funkční hodnoty funkce $f$ mají rozměr radiánů $rad$ . Kdyby funkční hodnoty měly rozměr půlradiánů $\frac{rad}{2}$ , graf složené funkce by vypadal jinak. Nejjednodušší je případ, kdy osa $y$ má stejný rozměr jako osa $x$ .

jednotka radián (zn. rad), která nemá (fyzikální) rozměr

To moc nechápu. Je to proto, že v definici je jednotková kružnice, ale není tam určený její poloměr?

byk7 · 19. 09. 2013 22:22

Ne, ani dosazované ani výsledné hodnoty žádný rozměr nemají.

stereo-total-music · 19. 09. 2013 22:37

Ne, ani dosazované ani výsledné hodnoty žádný rozměr nemají.

Radiány jsou bezrozměrné, protože se rozměry délky poloměru vykrátí. Rozměrové jednotky (např. stupně) nelze použít, protože by funkce i stupně pak ztratily smysl. Už to snad trošku chápu, sláva bohu :).

Rumburak

↑ stereo-total-music:

Ahoj.

Myslím, že jsi tak trochu v zajetí představy, že goniometrické funkce jsou nutně funkcemi úhlu.
Význam gon. fcí je ve skutečnosti daleko obecnější. Z obecně teoretického hlediska jsou to funkce
jako všechny ostatní (lze k nim dospět i bez geometrických souvislostí) a že jsou s úspěchem použitelné
i v geometrii jako funkce úhlů není potom nijak podstatné.

Ještě dodám, že v matematice samotnému číslu nepřísluší žádný rozměr. Jestliže reálné číslo v argumentu
gon. funkce má představovat velikost úhlu, musí to být a priori velikost úhlu v radiánech, což je jakási
"přirozená" úhlová míra, jinak nutno jednotku specifikovat v zápise (např. $\sin 60^{\circ}$ ) .

Brano · 20. 09. 2013 12:50 — Editoval Brano (20. 09. 2013 12:56)

↑ stereo-total-music:
aj stupne su defacto bezrozmerne lebo inak by sa nedalo napisat
$2\pi=360°$ - vlavo cislo a vpravo cosi s rozmerom???

takze najjednoduchsie sa to da predstavit tak, ze znacka $°$ je vlastne ciselna konstanta podobne ako $\pi$ a $e$ a plati $\phantom{x}°=\frac{\pi}{180}$ .

takato predstava funguje aj na percenta t.j. znacka $\%$ je konstanta a $\%=0.01$ - a zjednodusi to mnohe uvahy, len treba spravne "dekodovat" formulacie typu $\text{narast o }x\%$ .

stereo-total-music

Já jsem pochopil, že funkční hodnoty $H(f)$ funkce $f$ nabývají hodnot, které odpovídají poměru dvou stran v pravoúhlém trojúhelníku. Tudíž nemůžou mít jednotku $°$ , protože by pak vyjadřovaly POUZE úhel. Pokud nemají jednotku, můžeme se na ty čísla dívat jako na poměr (který nemá rozměr) ANEBO na obloukový úhel, který taky nemá rozměr. Můžeme je zkrátka považovat za oboje, přestože význam poměru a úhlu je úplně jiný. Samozřejmě záleží na tom, jaký obloukový úhel těm číslům přiřadíme.

zdenek1 · 20. 09. 2013 15:37

↑ stereo-total-music:
Je v tom trochu zmatek. To je dané částečně tradicí a částečně tím, že je to pro praktické účely dobře použitelné.
Když se děti poprvé seznamují s úhly, je mnohem jednodušší jim ukázat pravý úhel a rozdělit ho na 90 částí. Je to názorné a jednoduché.

Jenže jak začneš pracovat s funkcemi, není to ideální.
Omezíme se na středoškolskou úroveň matematiky.

Funkce je zobrazení z množiny reálných čísel do množiny reálných čísel.
Čili na vstupu je číslo (bez jednotky) a na výstupu také. Vždy, bez výjimky.

V tomto okamžiku přestávají být stupně použitelné.
Když tedy máme fci $y=\sin x$ , musíme mít obě ( $x$ i $y$ ) bezrozměrné.
Ve výrazu $y=\sin(2)$ (v matematice) je 2 prostě reálné číslo bez jednotky. A my, aby se nám to nepletlo s těmi stupni, které jsme se naučili na ZŠ, si tam přidáváme radiány, aby jsme se v tom neztratili.

A jinak, jak psal ↑ Rumburak:
To, že to nějak může souviset s geometrií vůbec není - v této souvislosti - důležité.

A ještě jedna poznámka:

Já jsem pochopil, že funkční hodnoty $H(f)$ funkce $f$ nabývají hodnot, které odpovídají poměru dvou stran v pravoúhlém trojúhelníku.

Už tě vidím, jak sestrojuješ pravoúhlý trojúhelník pro úhel 135°.

Rumburak · 20. 09. 2013 15:57

↑ stereo-total-music:

Jak jsem naznačil zde ↑ Rumburak: : u této úlohy a jiných podobných se od geometrických představ (o vztazích
v pravoúhlém trojúhelníku mezi gon. fcí úhlu a poměrem jistých jeho stran) oprosti a ber to tak, že, struřně řečeno,
např. sinus je funkce, která ČÍSLU $x$ přiřazuje ČÍSLO $\sin x$ , obdobně pro ostatní goniometrické funkce.
Pomocí vyšší matematiky lze ukázat, že mezi čísly $x , \sin x$ , existuje analytický vztah

(1) $\sin x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1) !}\,x^{2k+1} = \frac{1}{1!}\,x^{1} + \frac{-1}{3!}\,x^{3} + \frac{1}{5!}\,x^{5} + \frac{-1}{7!}\,x^{7} + ...$ ,

a formule podobného tvaru platí i pro cosinus. Těmito formulemi bývají pak funkce sinus , cosinus rozšířeny dokonce
i na všechna komplexní čísla (samozřajmě s komplexními funkčními hodnotami), tak jaképak úhly a poměry stran.

stereo-total-music

↑ zdenek1:

Už tě vidím, jak sestrojuješ pravoúhlý trojúhelník pro úhel 135°.

Úhel v pravoúhlém trojúhelníku náleží intervalu $(0; \frac{\pi }{2})$ . Já si to zdůvodnil, jakože existuje takový trojúhelník (malý kvantifikátor) a pak jsem z toho vyvodil závěr. Když je graf sinu nanesený v soustavě souřadnic, tak osa $y$ bude mít jenom jeden rozměr (žádný, radián atd.). Jednotlivá čísla na ose $y$ budou mít všechny stejný rozměr. Navíc sinus je periodická funkce.

Brano · 20. 09. 2013 16:48

↑ Rumburak:
Len taky maly dovetok, ze sa potom aj dokaze, ze ak to $x$ berieme z intervalu $(0,\pi/2)$ tak $\sin x$ zodpoveda pomerom vhodnych stran v trojuholniku s uhlom $x$ meranym v radianoch - t.j. ze ta abstraktna definicia neustrelila nejak mimo.

Co je tebe samozrejme jasne, len to hovorim kvoli OP.

Matematické Fórum

#1 19. 09. 2013 20:37

Funkční hodnoty goniometrických funkcí

#2 19. 09. 2013 21:03

Re: Funkční hodnoty goniometrických funkcí

#3 19. 09. 2013 22:11

Re: Funkční hodnoty goniometrických funkcí

#4 19. 09. 2013 22:22

Re: Funkční hodnoty goniometrických funkcí

#5 19. 09. 2013 22:37

Re: Funkční hodnoty goniometrických funkcí

#6 20. 09. 2013 11:24 — Editoval Rumburak (20. 09. 2013 12:27)

Re: Funkční hodnoty goniometrických funkcí

#7 20. 09. 2013 12:50 — Editoval Brano (20. 09. 2013 12:56)

Re: Funkční hodnoty goniometrických funkcí

#8 20. 09. 2013 14:48 — Editoval stereo-total-music (20. 09. 2013 14:50)

Re: Funkční hodnoty goniometrických funkcí

#9 20. 09. 2013 15:37

Re: Funkční hodnoty goniometrických funkcí

#10 20. 09. 2013 15:57

Re: Funkční hodnoty goniometrických funkcí

#11 20. 09. 2013 16:16 — Editoval stereo-total-music (20. 09. 2013 18:16)

Re: Funkční hodnoty goniometrických funkcí

#12 20. 09. 2013 16:48

Re: Funkční hodnoty goniometrických funkcí

Zápatí