Matematické Fórum

byk7 · 17. 09. 2013 23:31

Zdravím,

našel jsem zajímavý integrál, o který bych se s vámi rád podělil. (Úloha asi moc těžká nebude.)

Zpočtěte
$\int\lim_{n\to\infty}\,\underbrace{\sin(\sin(\cdots(\sin}_{n}(x))\cdots))\,\d x$

Přeji příjemnou zábavu.

Brano · 18. 09. 2013 23:23

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 20. 09. 2013 00:41

Poznamka:
Aj toto je uzitocne
http://jwilson.coe.uga.edu/emt669/Stude … ssay1.html

byk7 · 20. 09. 2013 16:58

↑ Brano:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Marian · 20. 09. 2013 18:00 — Editoval Marian (20. 09. 2013 18:01)

↑ byk7:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

byk7 · 20. 09. 2013 22:10

↑ Marian:

Thank you for specification, but I don't understand, why

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

?

And one more question, is there any difference between
$\int\lim_{n\to\infty}\,\underbrace{\sin(\sin(\cdots(\sin}_{n}(x))\cdots))\,\d x$
and
$\lim_{n\to\infty}\,\int\underbrace{\sin(\sin(\cdots(\sin}_{n}(x))\cdots))\,\d x$
?

Brano · 21. 09. 2013 00:27

$\lim\sin$s_n$=\sin$\lim s_n$$ lebo $\sin$ je spojita funkcia

neurcity integral nie je nieco co by sa dalo dobre limitit - treba zafixovat tu konstantu - trebars takto
$\lim_{n\to\infty}\,\int_0^y\underbrace{\sin(\sin(\cdots(\sin}_{n}(x))\cdots))\,\d x$ pre $y\in\mathbb R$
kedze pre podintegralnu funkciu plati, ze $|...|\le 1$
tak z vety o dominovanej konvergencii mas
$\lim_{n\to\infty}\,\int_0^y\underbrace{\sin(\sin(\cdots(\sin}_{n}(x))\cdots))\,\d x=\int_0^y\lim_{n\to\infty}\,\underbrace{\sin(\sin(\cdots(\sin}_{n}(x))\cdots))\,\d x=0$
ale zatial mas iba to, ze konverguje k nule bodovo (vzhladom na $y$ )
ak by si chcel, ze konverguje rovnomerne, tak sa s tym este treba pohrat.

byk7 · 21. 09. 2013 01:21

↑ Brano:

Díky za objasnění.

K tomu druhému dotazu, mám to chápat tak, že primitivní funkce k
$\underbrace{\sin(\sin(\cdots(\sin}_{n}(x))\cdots)),\,n\in\mathbb N$
se bude hledat těžko?

Brano · 21. 09. 2013 03:39

to nie je podstatne ako tazke je ju najst. ide o to, ze symbol $\int f(x) dx$ neoznacuje primitivnu funkciu ale vsetky primitivne funkcie t.j. mnozinu a ked by si chcel robit limitu postupnosti mnozin, tak by si musel upresnit co sa tym mysli. lepsi zmysel ma vybrat si konkretnu jednu primitivnu funciu (teda jednu pre kazde $n$ ) a pocitat normalne limitu postupnosti funkcii - teda ak sa s tym uspokojis.

ja som ju vybral takto
$\int_0^y\underbrace{\sin(\sin(\cdots(\sin}_{n}(x))\cdots))\,\d x$
akykolvek iny vyber by sa dal napisat takto
$\int_0^y\underbrace{\sin(\sin(\cdots(\sin}_{n}(x))\cdots))\,\d x+C_n$
len treba povedat co je $C_n$