#1 20. 09. 2013 18:38
automorfismus; grupy
Dalsie cvicenie tykajuce sa automorfismov kartesianskeho sucinu grup.
Nech 
;
su dve konecne grupy nesudelitelnych radov.
Dokazte, ze 
.
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#2 20. 09. 2013 20:38
- check_drummer
- Příspěvky: 5575
- Reputace: 106
definovat 
tak, že h(x,y):=(f(x),g(y))? A ukázat, že zobrazení přiřazující dvojici (f,g) zobrazení h je hledaný izomorfismus? (Předpokládám, že násobení v KxH je definováno "po složkách")Offline
#3 20. 09. 2013 23:16
Re: automorfismus; grupy
Ahoj ↑ check_drummer:,
Pochopitelne, ze sa to pouzije ale je zaujimave napisat ten dokaz podrobne.
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#4 21. 09. 2013 23:25 — Editoval Andrejka3 (22. 09. 2013 12:33)
Re: automorfismus; grupy
Ahoj ↑ vanok:.
Rozepíšu návod od ↑ check_drummer:.
značme 
.
je 
.![$(\varphi \times \psi)[(k,h)(k',h')]=(\varphi \times \psi)(kk',hh')=(\varphi kk',\psi hh')=(\varphi k\:\varphi k',\psi h\:\psi h')=(\varphi k,\psi h)(\varphi k',\psi h')=$](/mathtex/44/44b2338c9fe00d031acac066038ceeae.gif "kopírovat do textarea")
.=(\varphi\times\psi)(\varphi'k,\psi'h)=(\varphi\varphi'k,\psi\psi'h)=(\varphi\varphi'\times\psi\psi')(k,h)$](/mathtex/b8/b8d7df1d33d14622b3adce74de3c0acd.gif "kopírovat do textarea")
.
.
. Musí též pro 
být ![$o[f (k,h)]=o(k)o(h)$](/mathtex/61/61e757b64ed1354af6d60702d94b0b10.gif "kopírovat do textarea")
. Speciálně je 
, tedy označíme-li 
, je=1$](/mathtex/20/20f4a489e30295db4c18f8e5f05fa75d.gif "kopírovat do textarea")
. Můžeme rozepsat 
, odkud
. Aplikací projekce 
máme
, tedy jaksi 'výsledek projekce nezávisí na druhé proměnné'.
je automorfismus 
. Zjevně je toto přiřazení endomorfismus. Vzhledem k předpokládané konečnosti řádu grup stačí ověřit prostota:
, protože 
. 
je automorfismus, má proto triviální jádro, tedy 
.Edit: Snad je to už dobře. Edit: Neutrální prvky v grupách označeny jako 1.
What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'
Offline
#5 22. 09. 2013 11:16 — Editoval vanok (22. 09. 2013 11:20)
Re: automorfismus; grupy
mame
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#7 22. 09. 2013 11:43
Re: automorfismus; grupy
Ano, ale da sa zacat z tym a potom cely dokaz je trochu rychlejsi.
To je poznamka tykajuca sa len organisacie dokazu.
A to nic neberie na tvojom dobrom dokaze.
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline