Matematické Fórum

katie96 · 22. 09. 2013 11:22

Prosím potřebuji pomoc s tímto příkladem, máme zde najít rekurentní vzorec:

$\{4-\frac{n^{2}}{4}\}^{\infty }_{1}$

Předem děkuji za pomoc. :)

marnes · 22. 09. 2013 13:55

↑ katie96:

$a_{1}=4-\frac{n^{2}}{4}$

$a_{2}=4-\frac{(n+1)^{2}}{4}=4-\frac{n^{2}+2n+1}{4}=4-\frac{n^{2}}{4}-\frac{2n+1}{4}$

$a_{2}=a_{1}-\frac{2n+1}{4}$

$a_{n+1}=a_{n}-\frac{2n+1}{4}$ kde $a_{1}=\frac{11}{4}$

tak by mohlo být?

Stýv · 22. 09. 2013 14:13

↑ marnes: imho by rekurentní vzorec neměl záviset na $n$ (jenom skrze $a_n$ apod.)

marnes · 22. 09. 2013 14:16

↑ Stýv:

Hmmm, tak budu čekat na vyřešení též.

Stýv · 22. 09. 2013 14:19

↑ katie96: slyšelas někdy o derivování?

katie96

↑ Stýv: Bohužel vůbec netuším, co to je.. :/

jarrro · 22. 09. 2013 14:30

čo sa vám nepáči na marnesovom riešení ?
prečo by nemohlo n vystupovať v rekurentnom zadaní?
načo derivovanie?

Stýv · 22. 09. 2013 14:53

↑ jarrro: protože pak by stačilo napsat něco jako $a_n=0a_{n-1}+4-\frac{n^{2}}{4}$

↑ katie96: toho jsem se obával. člověk, kterej zná alespoň základní derivace by na to měl přijít snadno, ale pro někoho, kdo je nezná, to může vypadat jako magie. jde o to, že ta posloupnost je kvadratická. jak ukázal ↑ marnes:, tak první diference, tj. $\Delta a_{n+1}=a_{n+1}-a_n$ jsou lineární. tohle platí obecně - pokud posloupnost je polynomická stupně $k$ , pak její diference jsou stupně $k-1$ . tvoje posloupnost je stupně $2$ , tedy 2. diference (tj. diference diferencí) jsou konstantní:
$\Delta^2a_{n+1}=\Delta a_{n+1}-\Delta a_n=(a_{n+1}-a_n)-(a_n-a_{n-1})=a_{n+1}-2a_n+a_{n-1}=\text{konst.}$
z poslední rovnosti se spočítá ta konstanta a vyjádří $a_{n+1}$

jarrro · 22. 09. 2013 15:43 — Editoval jarrro (22. 09. 2013 15:58)

↑ Stýv:tak to samozrejme nie musí tam byť aspoň jeden stupeň rekurzie, ale napríklad
$a_{n+1}=\left(n+1\right)a_n, a_0=1$ podľa teba nie je rekurentné zadanie?
prípadne $a_{n+1}=n^2a_n+n, a_0=1$ ?
pokiaľ pri takýchto úlohách nie je špecifikovaná hĺbka rekurzie prípadne požiadavka napíklad na linearitu a konštantné koeficienty tak je správne akákoľvek rovnosť tvaru $f{$n, a_{n+k}, a_{n+k-1},\cdots , a_{n}$}=f$n, 4-\frac{\(n+k$^2}{4}, 4-\frac{$n+k-1$^2}{4}, \cdots , 4-\frac{n^2}{4}\)$ kde f je závislá (nekonštatná) aspoň na druhom a poslednom argumente

vanok · 22. 09. 2013 16:01 — Editoval vanok (22. 09. 2013 16:09)

↑ jarrro:,
Vseobecne sa pouziva definicia kolegu ↑ Stýv:, ktory tak dal dobru odpoved na danu otazku.
Pozri napr toto
http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Di … ngleichung
http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_récurrente_linéaire
http://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation

Ak treba nejaku pristupnu literaturu napis ...
Édit :
Google dal aj toto zaujimave citanie
http://faculty.pccu.edu.tw/%7Emeng/Math15.pdf

jarrro · 22. 09. 2013 16:10

↑ vanok:veď aj ten nemecký odkaz pripúšťa koficienty závislé na n

Stýv · 22. 09. 2013 16:13

↑ jarrro: především bych zdůraznil použitou zkratku imho, tedy že se jedná o můj názor - nejsem učitel matematiky, nevím jakou mají konvenci. a asi bych používal dvojí metr - kdybych někde zadával rekurentně posloupnost, klidně bych používal n, ale jako řešení úlohy "najděte rekurentní předpis" bych to neuznával.

je podle tebe teda $a_{n+1}=a_{n}-4+\frac{n^{2}}{4}+4-\frac{(n+1)^{2}}{4}$ správný řešení?

jarrro · 22. 09. 2013 16:22

↑ Stýv:áno $a_{n+1}=a_{n}-4+\frac{n^{2}}{4}+4-\frac{(n+1)^{2}}{4}$ je podľa mňa správne netvrdím, že je zle nájsť pokiaľ existuje aj konštantno lineárne riešenie hoci za cenu zväčšnia hĺbky rekurzie. práve naopak páči sa mi to

vanok · 22. 09. 2013 16:32 — Editoval vanok (22. 09. 2013 16:33)

↑ jarrro:,
Ano to som prehliadol.
Ale mal som na mysli recurrente linearne relacie.
A asi to je najcastejsie pouzivane... No, na druhej strane, tak ci tak ide o dohodu, a je asi celkom prirodzene, ze v Cz a Sk sa to prilizuje k nemeckym zvyklostiam.
A v inych jazykoch su ine zvyky.
Cize ide o nematematicku folklornu zalezitost.

Stýv · 22. 09. 2013 17:27

↑ jarrro: a $a_{n+1}=a_{n}-a_n+4-\frac{(n+1)^{2}}{4}$ ? to je prakticky to samý

jarrro · 22. 09. 2013 18:27

↑ Stýv:áno je to to isté, ale v prípade tvaru $a_{n+1}=a_{n}-a_n+4-\frac{(n+1)^{2}}{4}$ je hĺbka rekurzie nula keď sa požaduje rekurentné vyjadrenie tak aspoň ja uvažujem hĺbku aspoň jedna. preto tá požiadavka na závislosť f od posledného argumentu

Matematické Fórum

#1 22. 09. 2013 11:22

Rekurentní vzorec

#2 22. 09. 2013 13:55

Re: Rekurentní vzorec

#3 22. 09. 2013 14:13

Re: Rekurentní vzorec

#4 22. 09. 2013 14:16

Re: Rekurentní vzorec

#5 22. 09. 2013 14:19

Re: Rekurentní vzorec

#6 22. 09. 2013 14:25 — Editoval katie96 (22. 09. 2013 14:25)

Re: Rekurentní vzorec

#7 22. 09. 2013 14:30

Re: Rekurentní vzorec

#8 22. 09. 2013 14:53

Re: Rekurentní vzorec

#9 22. 09. 2013 15:43 — Editoval jarrro (22. 09. 2013 15:58)

Re: Rekurentní vzorec

#10 22. 09. 2013 16:01 — Editoval vanok (22. 09. 2013 16:09)

Re: Rekurentní vzorec

#11 22. 09. 2013 16:10

Re: Rekurentní vzorec

#12 22. 09. 2013 16:13

Re: Rekurentní vzorec

#13 22. 09. 2013 16:22

Re: Rekurentní vzorec

#14 22. 09. 2013 16:32 — Editoval vanok (22. 09. 2013 16:33)

Re: Rekurentní vzorec

#15 22. 09. 2013 17:27

Re: Rekurentní vzorec

#16 22. 09. 2013 18:27

Re: Rekurentní vzorec

Zápatí