Matematické Fórum

Papperwing · 20. 09. 2013 22:15

Ahoj,

potřeboval bych poradit s postupem při výpočtu stejnoměrné konvergence např. na příkladu $f_n(x) = \frac{n^2x^3}{n^2x^3+1} x\in R|$

Vím, že na zjištění, zdali řada konverguje stejnoměrně lze dobře použít Weierstrassův test, jenže bych potřeboval poradit, jak ty $a_n$ získat (Stačí derivovat podle x?)

Popřípadě, pokud existuje nějaký lepší postup, rád bych ho uvítal

Díky

Stýv · 20. 09. 2013 23:26

čemu říkáš $a_n$ ?

Papperwing · 21. 09. 2013 00:11

$a_n$ by dle mého měly být jednotliví členové posloupnosti suprém jednotlivých $f_n(x)$

Snažím se to naučit už třetí den a způsobil jsem si v tom pořádný maglajz, takže možná to napíšu sem tam trošku zmateně, tak mi to trošku omluvte :)

Stýv · 21. 09. 2013 02:08

no, a jak se hledá supremum (resp. maximum) funkce? derivaci při tom asi použiješ, ael jenom zderivovat funkci určitě nestačí

Papperwing · 21. 09. 2013 10:28

První derivaci položím rovnou nule, poté by mi měla vyjít lokální maxima minima. Zdali je to maximum minimum zjistím z druhé derivace v tom bodě (výjde-li kladná je to minimum, výjde-li záporná jedná se o maximum).

Budu poté zjišťovat, zda-li to konverguje pomocí toho, že udělám $\lim_{n\to \infty }a_n$ a pokud se tenhle výraz nerovná nekonečnu jednomu či druhému, pak řada $a_n$ konverguje k tomu co mi vyšlo a řada $f_n(x)$ k tomu konverguje stejnoměrně?

user · 21. 09. 2013 12:15

Ahoj,

jen bych prosil upřesnění, bavíme se o stejnoměrné konvergenci funkční posloupnosti, nebo funkční řady?

Papperwing · 21. 09. 2013 12:44

No já bych rád věděl, jak zjistit st. konvergenci řady funkcí, avšak jestli jsem zatím něco řekl špatně, tak mě prosím opravte.

Rumburak

↑ user:, ↑ Papperwing:

Ahoj.

Obávám se, že řada funkcí sestavená z posloupnosti $(f_n)$ , kde $f_n(x) = \frac{n^2x^3}{n^2x^3+1} x\in \mathbb{R}$ ,
skoro nikde nekonverguje (viz limita n-tého členu) a proto nemá smysl ani bavit se o stejnoměrnosti této konvergnce.

V úloze je zřejmě míněno vyšetřit stejnoměrnou konvergenci posloupnosti .

Návod:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

user · 21. 09. 2013 14:47

Děkuji za doplnění. Pro jistotu doplním pojmy. Pokud se jedná o řadu funkcí, tak pracujeme s $\lim_{n\to +\infty } \sum_{k=1}^{n}f_k(x)$ , pro posloupnost s $\lim_{n\to +\infty } f_n(x)$ .

Jak napsal kolega ↑ Rumburak:, vyšetření konvergence funkční řady je jednoduché, protože není splněna nutná podmínka konvergence.

Pokud bys chtěl zjistit stejnoměrnou konvergenci funkční posloupnosti, tak je třeba postupovat jinak. Tady na fóru je určitě několik témat, které se tím zabývají.

found · 21. 09. 2013 16:42 — Editoval found (21. 09. 2013 16:45)

↑ Papperwing:

Ahoj,

myslím, že tvoje členy $a_n$ jsou pro mě známé jako $\sigma_n$ , ale jedná se o následující?

$f_n(x) \overrightarrow{\rightarrow} f(x) \Leftrightarrow \sigma_n := \sup_{x\in\mathbb{R}} |f_n(x)-f(x)|$

Potom tobě teda dělá problém, jak chápu, jak zjistit supremum té absolutní hodnoty. Tak se na to podívejme.

Co se Weierstrasse týče, ten je z mého pohledu obecně pro řady a mělo by platit, že řada stejnoměrně konverguje právě tehdy, když existuje série $a_n$ , která konverguje a navíc $|f_n(x)| < a_n$ pro každé n a x. To pak diskutuju v řešení u řad (viz níže).

Udělal jsem takový menší přehled toho, jak přijít na výsledek, ať jde o posloupnost nebo o řadu, snad ti to pomůže. Jinak co se stejnoměrné konvergence týče, doporučím ti jen tohle - počítat, počítat, počítat. Chce to určitou představu o tom, co kde používat, aby ses naučil odhadovat apod., potom to půjde snáze.

Posloupnost (zpětně koukám, že jsem to uvažoval jen pro kladná reálná čísla, tak bacha na to, myslím ale, že předělávat to nemusím, že to je vidět, že úplně stejně to musíš udělat pro čísla záporná, kdy jinak odstraníš absolutní hodnotu - bacha pak na hodnotu x = -1)