Matematické Fórum

mák · 21. 09. 2013 19:47

Teď jsem řešil tento problém a ač není obtížný připadala mi tato úloha zajímavá a tak ji zveřejňuji.

Antoine rovnice popisuje vztah mezi tlakem páry a teplotou čisté látky.
U nás používáme tuto variantu [1] s přirozeným logaritmem:

$\ln (P)=A-\frac{B}{T+C}$

Teplotu zadáváme ve °C a výsledek máme v kPa (absolutních).
Potřeboval jsem zjistit pro určitou látku konstanty $A,B,C$ .
Našel jsem je, ale zdroj používá jinou variantu [2] s logaritmem o základu 10:

$\log_{10}(P)=A-\frac{B}{T+C}$

A aby to nebylo jednoduché, tak vypočítaný tlak je v barech (absolutních) a teplotu zadávají v Kelvinech.

A teď úkol.
Vypočítejte nové konstanty $A,B,C$ ze zjištěných pro naši variantu [1] rovnice.

mák · 23. 09. 2013 18:57 — Editoval mák (23. 09. 2013 19:34)

Asi ta úloha není příliš zajímavá, a nebo není tak lehká jak jsem si myslel.

Zopakuji zadání, ale tentokrát jej podrobněji rozepíšu.
Úkolem je vypočítat koeficienty $[A_{1},B_{1},C_{1}]$ pro rovnici [1] kde teplota je zadaná ve °C a tlak vychází v kPa:
$\ln (P_{kPa})=A_{1}-\frac{B_{1}}{T_{C}+C_{1}}$

Známe však koeficienty $[A_{2},B_{2},C_{2}]$ pro tu samou látku, ale pro tuto rovnici [2] kde teplota je zadaná v Kelvinech a tlak vychází v barech:
$\log_{10}(P_{bar})=A_{2}-\frac{B_{2}}{T_{K}+C_{2}}$

První krok - využijeme poznatku, že teplota ve stupních Celsia má stejný přírůstek jako v Kelvinech, ale obě stupnice jsou posunuté o konstantu 273.15. Takže konstanta C2, která sousedí s teplotou, bude pravděpodobně posunutá o stejnou hodnotu.
Převedeme si teplotu na jednu stranu (přesuneme tam i konstantu C), nejprve rovnice [1]:
$T_{C}+C_{1}={{B_{1}}\over{A_{1}-\ln \left(P_{{\it kPa}}\right) }}$
A nyní i rovnici [2]:
$T_{K}+C_{2}={{B_{2}}\over{A_{2}-{{\ln \left(P_{{\it bar}}\right)}\over{\ln \left( 10 \right) }}}}$
Obě rovnice musí dávat stejné výsledky - první ve stupních Celsia a druhá v Kelvinech (to byl požadavek).

Takže levé strany musí být identické:
$T_{C}+C_{1}=T_{K}+C_{2}$
Protože:
$T_{C}=T_{K}-273.15$
Pak:
$C_{1}=C_{2}+273.15$

A jedna konstanta je vyřešená.
Teď už to půjde snadno.

mák · 23. 09. 2013 19:26 — Editoval mák (23. 09. 2013 19:36)

Zbyly nám pravé strany - ty se taky musí rovnat:
${{B_{1}}\over{A_{1}-\ln \left(P_{{\it kPa}}\right) }}={{B_{2}}\over{A_{2}-{{\ln \left(P_{{\it bar}}\right)}\over{\ln \left( 10 \right) }}}}$
Ale máme tam jiné jednotky. Víme že:
$P_{kPa} = k * P_{bar}$
Přičemž v tomto případě je:
$k = 101.325$
Dosadíme:
${{B_{1}}\over{A_{1}-\ln \left(k * P_{{\it bar}}\right) }}={{B_{2}}\over{A_{2}-{{\ln \left(P_{{\it bar}}\right)}\over{\ln \left( 10 \right) }}}}$
Což je stejné jako:
${{B_{1}}\over{A_{1}-\left(\ ln \left(k \right)+\ln \left(P_{{\it bar}}\right) \right) }}={{B_{2}}\over{A_{2}-{{\ln \left(P_{{\it bar}}\right)}\over{\ln \left( 10 \right) }}}}$
Máme tedy jednu rovnici.
Neznámé máme však dvě, musíme ještě jednu vyrobit. Využijeme poznatku, že pokud libovolně změníme hodnotu tlaku, pak se obě strany musí stále rovnat. Posuneme tlak o hodnotu z:
${{B_{1}}\over{A_{1}-\left(\ ln \left(k \right)+\ln \left(P_{{\it bar}}+z \right) \right) }}={{B_{2}}\over{A_{2}-{{\ln \left(P_{{\it bar}} + z \right)}\over{\ln \left( 10 \right) }}}}$
Druhá rovnice je na světě a soustava je řešitelná s výsledkem:
$A_{1}=\ln \left(k \right)+A_{2}\,\ln \left(10 \right)$
$B_{1}=B_{2}\,\ln \left(10 \right)$

Poznámka: při opisování jsem udělal několik chyb (proměnné mám jinak značené), snad jsem je všechny opravil.

Matematické Fórum

#1 21. 09. 2013 19:47

Konstanty Antoinovy rovnice.

#2 23. 09. 2013 18:57 — Editoval mák (23. 09. 2013 19:34)

Re: Konstanty Antoinovy rovnice.

#3 23. 09. 2013 19:26 — Editoval mák (23. 09. 2013 19:36)

Re: Konstanty Antoinovy rovnice.

Zápatí