Matematické Fórum

Straka · 23. 09. 2013 19:16

je dána posloupnost 0, 1, 0, 1, 0, 1 ... určete vzorec pro n-tý člen posloupnosti
já sem se tomu snažil přijít na kloub asi takto :

1-1=0
2-1=1
3-3=0
4-3=1
5-5=0
6-5=1

tak mi tady vznikla posloupnost těchto čísel 1,1,3,3,5,5 , ale nevím jestli to vůbec hraje nějakou roli, tak by mně jenom zajímalo jestli mířím správnou cestou či ne

Stýv · 23. 09. 2013 19:20

doporučoval bych vyjít z posloupnosti (-1)^n

Straka · 23. 09. 2013 19:34

↑ Stýv:

Po pravdě řečeno to jsem taky zkoušel, ale pořád mi to nedává smysl :(

Straka · 23. 09. 2013 19:59

↑ Straka:
Tak jak by to teda mělo vypadat? :)

Stýv · 23. 09. 2013 20:02

napadá tě nějaká funkce f taková, že f(-1)=0 a f(1)=1?

Straka · 23. 09. 2013 20:08

↑ Stýv:
Nejhorší je že mi to absolutně vůbec nic neříká, tak doufám že je to tím, že jsem s těmi posloupnosti teprve začal

byk7 · 23. 09. 2013 20:47

↑ Stýv:

Co třeba $f(x):=\text{sgn}(x+1)$ ? :-P

↑ Straka:

Třeba vzorec
$a_n=\bigg\lfloor\frac{n}{2}\bigg\rfloor-\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor$ ,
kde $\lfloor x\rfloor$ značí dolní celou část čísla $x$ (a n>0) bude fungovat, nebo
$b_n=(n+1)\text{ mod }2$ ,
kde $(n+1)\text{ mod }2$ značí zbytek čísla $n+1$ po dělení dvěma, nebo
$c_n=\frac{(-1)^n+1}{2}$ ,
nebo
$d_n=\left|\cos$\frac{\pi n}{2}$\right|$ ,
nebo
$e_n=\text{sgn}$1+(-1)^n$$ ,
kde $\text{sgn}(x)$ značí funkci signum.

Všechny uvedené vzorce ti dají pro liché $n$ nulu a pro sudé jedničku.
Následující vzorec vychází z toho, že je zadáno pouze prvních šest členů,
dál se tedy může posloupnost chovat libovolně, následující vzorec
$P(n)=\frac{4}{30}\,n^5-\frac{7}{3}\,n^4+\frac{46}{3}\,n^3-\frac{140}{3}\,n^2+\frac{968}{15}\,n-31$
ti pro $n\in\{1,2,3,4,5,6\}$ dá skutečně hodnoty 0 a 1, pro $n>6$ se už pak bude chovat divočeji.

Rumburak · 24. 09. 2013 10:18

↑ Straka:

Ahoj.

Drž se rady, kterou Ti dal ↑ Stýv: .

1. Zkoumej posloupnost $(c_n )$ , kde $c_n = (-1)^n$ , tj. vypočti si několik jejích prvních členů.
Co lze o této posloupnosti usoudit obecně ?

2. Nyní přejdi k posloupnostem $(d_n )$ , kde $d_n := c_n + K$ , $K$ je konstanta (nezávislá na $n$ ) .
Speciálně se zaměř na případy $K = 1$ resp. $K = -1$ . Odtud k řešení Tvé úlohy bude chybět už jen málo.