Matematické Fórum

MirekH · 22. 09. 2013 11:08 — Editoval MirekH (22. 09. 2013 11:14)

Ahoj,
trochu jsem znejistěl u následujícího problému a potřeboval bych poradit:

Mějme hmotný bod, který se konstantní rychlostí pohybuje volným prostorem. Jaká práce musí být vykonána, aby bod opsal na své trajektorii kružnici?

Do vztahu $W = \int_0^{2\pi} F \, \mathrm{d}s$ dosadím $F = mv^2/r$ a $\mathrm{d}s = r \mathrm{d}\theta(1 - \cos \theta)$ (tím si právě nejsem jistý). Vychází $2\pi mv^2$ , $4\pi$ násobek kinetické energie, tedy $\pi$ -krát víc, než by bylo potřeba na dvojité obrácení na přímce. Je to možné?

Edit: Můj první tip byl čtyřnásobek $E_k$ , což by znamenalo, že nezáleží na tvaru trajektorie, při němž provádí obrat (kružnice, elipsa). Jenže když v extrémním případě vezmu obdélník, tak jde o osminásobek.

zdenek1 · 22. 09. 2013 11:38

↑ MirekH:
Já bych řekl, že žádná. Síla je kolmá ne vektor rychlosti, skalární součin nula.

MirekH · 24. 09. 2013 08:20 — Editoval MirekH (24. 09. 2013 08:20)

↑ zdenek1:
Toho si jsem vědom, jenže co když tuto sílu nahradím něčím konkrétním, např. malým motorkem, který působí stále kolmo na směr vektoru rychlosti. Aby byla velikost síly konstantní, musí motor stále spalovat palivo, a tedy vydávat energii.

A navíc – z velmi malých kružnicových oblouků o různém poloměru sestavím libovolnou trajektorii (kromě lomené čáry), takže bych vlastně tvrdil, že se mohu pohybovat po libovolné trajektorii, aniž by musela být vykonána nějaká práce.

LukasM · 24. 09. 2013 09:28

↑ MirekH:
Můj pohled, budu rád když to Zdeněk doplní/opraví.

Když sílu nahradíš něčím konkrétním, tak do toho systému vneseš něco, co tam původně nebylo. Nevím jak by tvůj motor vypadal, ale i kdyby měl 100% účinnost, určitě by někde překonával nějaké tření (jinak by se mu protáčelo kolečko), nebo by něco urychloval (raketový motor, vrtule, apod). Někde by se tak objevila místa, kde síla působí ve směru posunutí. To je ale tvůj problém, že neumíš tu sílu vytvořit jinak. V původní úloze žádný motor není. Představ si geostacionární družici, ta obíhá také po kružnici. Kdo koná práci tam? Kdo koná práci když nabitá částice obíhá kolem silokřivek magnetického pole?

Ono se dá říct také tohle. Pokud by se konala práce, nemůže se ta "získaná" energie ztratit, musí v systému zůstat. Jediné na co by se mohla přeměnit je kinetická energie tělesa. Ale ta je pořád stejná (závisí na velikosti rychlosti, ne na směru).
A dá se říct také to, že práce je definovaná jako nějaký integrál, ve kterém je skalární součin. Takže ho nemůžu vynechat jen proto, že se mi nelíbí.

Že se můžeš pohybovat po libovolné trajektorii aniž bys konal práci. Ano, to v principu můžeš. Síla a práce není totéž.

zdenek1 · 24. 09. 2013 09:40

Já jsem o tom přemýšlel trochu jinak (bez motorku).
Mám oblast, ve které se pohybuje částice s nábojem. A nyní zapnu magnetické pole.
Částice se začne pohybovat po kružnici.
Magnetická síla neudělá žádnou práci.
To je (podle mě) zřejmé.

Ale budu muset udělat nějakou práci na zapnutí toho pole.

MirekH · 24. 09. 2013 10:51

↑ LukasM:
Je zajímavé, že jsi zmínil právě tu geostacionární družici. Z ní jsem totiž prapůvodně vycházel a abstrakcí (kružnice na trajektorii hmotného bodu) jsem došel k závěru, že se může při libovolné rychlosti pohybovat v libovolné vzdálenosti od Země, aniž by přitom musela konat práci, což se mi tak úplně nezdálo. Přece pokud je moje rychlost nižší než rychlost kruhová, tak musím vynaložit nějaké úsilí na to, abych se na dané dráze udržel.

Je to nejspíš stejné, jako když držím v natažené ruce nějaký těžký předmět. Práci nekonám (předmět je pořád na místě), ale přesto ztrácím energii. Zjevně ale záleží na tom, o jaký stroj se jedná (zde paže), takže takový problém nelze abstrahovat.

LukasM · 24. 09. 2013 11:29

↑ MirekH:
Geostacionární družice má rychlost právě kruhovou a byl to příklad, takže moc neřešme co se bude dít když kruhová nebude. Tam by rozdíl byl. Kdyby byla rychlost moc nízká, těleso by začalo padat, a grav. síla by konala práci. Ale také by vzrostla velikost rychlosti, tedy i kinetická energie. Kdybych se na té dráze chtěl udržet, musel bych působit nějakou silou - tak velkou, aby výslednice sil měla přesně tu správnou velikost. Že ji umím těžko vytvořit aniž bych někde konal práci, to je druhá věc.

Ruce bych do toho netahal už vůbec. Zkus držet v natažené ruce nějaké závaží - dlouho to nevydržíš, i když se nikde nic nehýbe. Stejně tak by šlo říct, že první NZ neplatí, protože autíčko rozjeté po rovině se nakonec zastaví - ano, zastaví ho tření, ale NZ platí v případě že žádné síly nepůsobí. I v našem případě je potřeba pracovat jen s těmi základními pojmy (zrychlení, rychlost, síla, práce, ... ) a netahat tam nic dalšího. Síla je nějak definovaná, práce taky. Ve smyslu těch definic není potřeba konat práci, aby se měnil směr rychlosti.

↑ zdenek1:
Že na vytvoření mag. pole je třeba práce, to je jistě pravda, ale v této úloze o to určitě nejde. Mag. pole by navíc mohlo být už vytvořené před částicí, která do něj jen vletí. Práci na zatočení částice nevykoná - to je, jak píšeš, zřejmé, a více bych v této úloze nehledal. Přijde mi to trochu jako chtít započítávat práci, kterou někdo vykonal aby to těleso na začátku rozpohyboval - bez ní by také nemohlo zatočit (protože by stálo na místě).

MirekH · 24. 09. 2013 18:15

Téma označují jako vyřešené s tím, že se jedná o problém teorie vs. reálné provedení.

Matematické Fórum

#1 22. 09. 2013 11:08 — Editoval MirekH (22. 09. 2013 11:14)

Práce potřebná pro opsání kružnice na trajektorii

#2 22. 09. 2013 11:38

Re: Práce potřebná pro opsání kružnice na trajektorii

#3 24. 09. 2013 08:20 — Editoval MirekH (24. 09. 2013 08:20)

Re: Práce potřebná pro opsání kružnice na trajektorii

#4 24. 09. 2013 09:28

Re: Práce potřebná pro opsání kružnice na trajektorii

#5 24. 09. 2013 09:40

Re: Práce potřebná pro opsání kružnice na trajektorii

#6 24. 09. 2013 10:51

Re: Práce potřebná pro opsání kružnice na trajektorii

#7 24. 09. 2013 11:29

Re: Práce potřebná pro opsání kružnice na trajektorii

#8 24. 09. 2013 18:15

Re: Práce potřebná pro opsání kružnice na trajektorii

Zápatí