Matematické Fórum

kolejo · 25. 09. 2013 08:42

Dobrý den,
už jsem to zkusil několika způsoby a nic. Forum už jsem prohledal, ale pokud jsem něco minul, budu rád za odkaz.
Zadání je jasné.

Máme jednu kostku a házíme desetkrát. Jaká je pravděpodobnost, že jsme hodili:
dvě jedničky, tři sudý čísla, a pět pětek nebo trojek?
(Například výčet hodů 2461133553 by k tomu seděl.)

Je fajn, že jsme dostali výsledek 0.036

...první pokusy vedly k menších pravděpodobnostem a pak mě napadlo, že budu zjišťovat příznivost jevů.
Prvním hodem můžu dostat jen příznivou věc, každý číslo padne do jedné ze tří kategorií. Druhý hod taky. Ve třetím hodu je to už ale...trochu jinak, protože jsme mohli hodit na začátku dvě jedničky. Takže po tři hody máme jen pět příznivých hodů, chápu to správně? (5/6)^3 a dalších pět hodů (protože sudý i jedničky jsou pryč, např) chceme trojky nebo pětky. Tedy 2 z 6 jsou příznivé. (1/3)^5.
Násobením těch čísel ale dostanu 125/52488 neboli .0023814...

Úvaha je tedy špatně, ale myslím, že né zcela, proto žádám o pomoc. Děkuji,
kolejo

Jj · 25. 09. 2013 10:28

↑ kolejo:

Dobrý den,

pokud jsem se nepřepočítal, tak kýžený výsledek 0.036 lze dostat s využitím multinomického (zobecněného binomického) rozdělení pravděpodobnosti (n = 10, p1 = 1/6, p2 = 1/2, p3 = 1/3, x1 = 2, x2 = 3, x3 = 5).

Určení počtu příznivých jevů vhodnou úvahou však může být jistě zajímavější i přínosnější.

Pavel Brožek · 25. 09. 2013 10:36

Výsledkem je uspořádáná posloupnost deseti čísel 1–6. Celkový počet výsledků je $6^{10}$ . Každý výsledek je stejně pravděpodobný. A teď budeme počítat ty příznivé.

Někde musí být umístěny dvě jedničky. Dvě místa z deseti můžeme vybrat ${10\choose2}$ způsoby. Pak ze zbylých osmi pozic vybereme pět pozic pro pětku nebo trojku, to jde ${8\choose 5}$ způsoby. V rámci těchto pěti pozic musíme pro každou pozici rozhodnout, jestli tam bude pětka nebo trojka, celkem $2^5$ možností. Zbyly tři pozice, kde musí být sudá čísla (ty jsou tři – 2, 4 a 6). Ty můžeme zvolit $3^3$ způsoby. Celkem

$\frac{{10\choose2}\cdot{8\choose 5}\cdot2^5\cdot3^3}{6^{10}}=\frac{35}{972}\approx0,036.$

kolejo · 25. 09. 2013 13:57

↑ Jj:
↑ Pavel Brožek:

Díky moc, už tomu rozumím. Označuji za vyřešené.

Matematické Fórum

#1 25. 09. 2013 08:42

Deset hodů jednou kostkou

#2 25. 09. 2013 10:28

Re: Deset hodů jednou kostkou

#3 25. 09. 2013 10:36

Re: Deset hodů jednou kostkou

#4 25. 09. 2013 13:57

Re: Deset hodů jednou kostkou

Zápatí