Matematické Fórum

Danal · 28. 09. 2013 13:00 — Editoval Danal (28. 09. 2013 13:01)

Zdravím, chci se prosím zeptat. Pokud počítám integrálem objem rotačního tělesa, tak bych byl rád, pokud by mi někdo vysvětlil jeden detail.
Víceméně je to tak, že spočítám integrál a vynásobím to pí. Jenže pí je přece půlkruh, budu rotovat okolo osy x, ale jenom do poloviny.
Například koule, pokud to nechám rotovat okolo osy x (tj. vynásobím to pí) , tak bych měl dostat jen půl objemu koule, ne? Abych dostal celou kouli, měl bych to násobit 2pí.

Správně je toto: $V_{k} = \pi \int_{-r}^{r} r^{2} - x^{2} dx$

Ale jak říkám, já myslel, že tím udělám jen půlkruh. Proto jsem si myslel, že to má být takto:
$V_{k} = 2\pi \int_{-r}^{r} r^{2} - x^{2} dx$

Můžete mi prosím někdo říct, proč to násobím jenom $\pi$ a ne $2\pi$ ?
Snad jsem dobře vysvětlil moji otázku.

Děkuji předem všem za odpověď :-)

marnes · 28. 09. 2013 13:05

↑ Danal:
jestli to máš od -r do r, tak otáčíš půlkružnicí. A ta když se otočí, tak jede po povrchu koule. Aby tam bylo 2pí, pak integruj v mezích 0 až r

Danal · 28. 09. 2013 13:19

↑ marnes:
no tak kdyby to bylo od nuly do r, tak je to jasný, že to musím násobit dvěma.. to bych dle mýho chybnýho názoru spočítal čtvrtinu objemu koule... tj. pak bych to musel vynásobit čtyřma.. záměrně jsem dal od -r do r, aby byl jasnější můj dotaz.. jinak.. proč otáčím půlkružnicí? ono je jedno odkud kam to je.. důležitý je, že když bych se podíval jakoby .. proti ose x, a teď to otáčel, tak uvidím, že se to otočilo jen o pí, tj. o půlkruh a tim pádem by to byla jen polovina objemu tělesa...

marnes · 28. 09. 2013 13:39

↑ Danal:
Ale ten vzorec je pro otočení o 360st, ne? Nebo nerozumím tvému dotazu.

Danal · 28. 09. 2013 13:47

↑ marnes:
no mělo by to být o 360 stupnů, ale 360st. je přece 2pí, tudíž bych to měl násobit 2pí.. a ne jen 180 stupni neboli pí... :-D

marnes · 28. 09. 2013 13:52

↑ Danal:
No už možná vím kam míříš a na tuto otázku ti asi neodpovím. Já se vzorec naučit tak, jak je předložen, na příkladech si ověřil že platí a nenapadlo mě to dál zkoumat. Snad ti na otázku odpoví fundovaní odborníci. Zřejmě je to založeno na nějaké práci s důkazem. Možná bych položil otázku v sekci VŠ.

Eratosthenes · 28. 09. 2013 14:49

↑ Danal:

Ahoj,

určitý integrál můžeme chápat jak součet nekonečně mnoha nekonečně malých elementů. "Křivočarý lichoběžník" a, f(a), f(b), b se skládá z nekonečně mnoha nekonečně tenkých obdélníků o stranách f(x), dx. Obsah ka6d0ho takového obdélníka je dS = f(x)dx. Součet těchto obdélníků je pak

$S= \int_a^b dS = \int_a^b f(x)dx$

//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-09/72496_Int.png

Těleso vzniklé rotací toho "lichoběžníka" se skládá z nekonečně mnoha nekonečně nízkých válců s poloměrem podstavy f(x) a výškou dx. Objem jednoho tohoto válce je

$dV = \pi r^2 v = \pi f^2(x) dx$

a objem tělesa tedy

$V = \int_a^b dV = \int_a^b \pi f^2(x) dx$

Danal · 28. 09. 2013 15:49

↑ Eratosthenes:
Děkuji moc, přesně othle jsem potřeboval :-) Já jsem na to nahlížel trochu jinak no.
Každopádně, nenapadlo by mě to dS a dV, moc mi to ještě nejde...

Takže asi vyřešeno :)
Ještě jednou díky moc.

Matematické Fórum

#1 28. 09. 2013 13:00 — Editoval Danal (28. 09. 2013 13:01)

Objem rotačního tělesa pomocí integrálu

#2 28. 09. 2013 13:05

Re: Objem rotačního tělesa pomocí integrálu

#3 28. 09. 2013 13:19

Re: Objem rotačního tělesa pomocí integrálu

#4 28. 09. 2013 13:39

Re: Objem rotačního tělesa pomocí integrálu

#5 28. 09. 2013 13:47

Re: Objem rotačního tělesa pomocí integrálu

#6 28. 09. 2013 13:52

Re: Objem rotačního tělesa pomocí integrálu

#7 28. 09. 2013 14:49

Re: Objem rotačního tělesa pomocí integrálu

#8 28. 09. 2013 15:49

Re: Objem rotačního tělesa pomocí integrálu

Zápatí