Matematické Fórum

karel.brinda · 16. 01. 2009 22:50

Ahoj,

nechť mám 2 posloupnosti an a bn. Platí něco ve smyslu, že lim sup (an) + lim sup (bn) = lim sup (an + bn)? Lépe řečeno za jakých okolností a kde to vyplývá z důkazu, že každá posloupnost má lim sup?

Předem díky za odpověď :-).

karel.brinda · 16. 01. 2009 23:11

Ještě jsem si všiml možného dvojsmyslu v poslední větě - "kde to vyplývá z důkazu" - je to otázka na ty podmínky pro an a bn, aby ten uvedený vztah platil.

lukaszh · 16. 01. 2009 23:29

↑ karel.brinda:
Nie každá postupnosť má limitu, tak isto nie každá postupnosť má limsup. Platí, že ak
$\limsup_{n\to\infty}a_n=\liminf_{n\to\infty}a_n=L$
potom:
$\lim_{n\to\infty}a_n=L$

Čo sa týka tvojej prvej otázky, tak platí:
$\limsup_{n\to\infty}(a_n+b_n)\leq\limsup_{n\to\infty}a_n+\limsup_{n\to\infty}b_n$

karel.brinda

↑ lukaszh:
Upřesním, že jsem měl na mysli reálné posloupnosti (možná se to nepředpokládá automaticky).

lukaszh napsal(a):
Nie každá postupnosť má limitu, tak isto nie každá postupnosť má limsup.

Budu teď citovat skripta z MA (kapitola Reálné posloupnost):
"Věta: Každá posloupnost má hromadnou hodnotu. Přitom platí: množina všech hromadných hodnot dané posloupnosti má největší a nejmenší prvek."
To je dle mého v rozporu s tvým tvrzením (v rámci reálných posloupností).

lukaszh napsal(a):
$\limsup_{n\to\infty}(a_n+b_n)\leq\limsup_{n\to\infty}a_n+\limsup_{n\to\infty}b_n$

Z čeho tohle vyplývá? Mohl bych poprosit o konkrétní příklad dvou posloupností, kde by platila ostrá nerovnost?

Pavel Brožek

↑ karel.brinda:

Definice limes superior je

$\limsup_{n\rightarrow\infty}\,x_n=\inf_{n\geq 0}\,\sup_{m\geq n}x_m$ ,

myslím, že existence limsup pro reálné posloupnosti plyne z konstrukce reálných čísel (z jednoho axiomu).

$a_n=(-1)^n\qquad\qquad\qquad\limsup_{n\rightarrow\infty}\,a_n=1\nl b_n=(-1)^{n+1}\qquad\qquad\qquad\limsup_{n\rightarrow\infty}\,b_n=1\nl a_n+b_n=0\qquad\qquad\qquad\limsup_{n\rightarrow\infty}\,(a_n+b_n)=0$

kaja.marik

↑ karel.brinda:

Budu teď citovat skripta z MA (kapitola Reálné posloupnost):
"Věta: Každá posloupnost má hromadnou hodnotu. Přitom platí: množina všech hromadných hodnot dané posloupnosti má největší a nejmenší prvek."

co to je za skripta? Me to nesedi na posloupnost $a_n=n$

↑ BrozekP: ... za predpokladu ze je poslopnost shora ohranicena.

Pavel Brožek · 17. 01. 2009 12:12

↑ kaja.marik:

Ano, nebo v $\mathbb{R}^*$ tak jak jsem napsal.

vosa · 17. 01. 2009 15:52

↑ kaja.marik:

Když posloupnost má limitu, pak její jedinou hromadnou hodnotou, je hodnota limity ;)

kaja.marik · 17. 01. 2009 17:09

↑ vosa:
O.K. Zalezi na terminologii, proto jsem se ptal, ze kterych to je skript. Ja jsem to bral v R a ne v R^*

karel.brinda

↑ BrozekP:
Perfektní, to je přesně to, co jsem chtěl vědět. Ještě prosím o potvrzení/vyvrácení následujícího tvrzení:
Součtový vzorec $\limsup_{n\to\infty}(a_n+b_n)\eq\limsup_{n\to\infty}a_n+\limsup_{n\to\infty}b_n$ by platil ve chvíli, když by obě vybrané posloupnosti (právě jejichž limity jsou suprema obou posloupností) z $(a_n)$ a $(b_n)$ byly vybrané pomocí stejné ostře rostoucí posloupnosti $(k_n)$ ?

Matematické Fórum

#1 16. 01. 2009 22:50

Součet lim sup, lim inf

#2 16. 01. 2009 23:11

Re: Součet lim sup, lim inf

#3 16. 01. 2009 23:29

Re: Součet lim sup, lim inf

#4 17. 01. 2009 00:19 — Editoval karel.brinda (17. 01. 2009 00:28)

Re: Součet lim sup, lim inf

lukaszh napsal(a):

lukaszh napsal(a):

#5 17. 01. 2009 10:54 — Editoval BrozekP (17. 01. 2009 10:55)

Re: Součet lim sup, lim inf

#6 17. 01. 2009 11:21 — Editoval kaja.marik (17. 01. 2009 11:23)

Re: Součet lim sup, lim inf

#7 17. 01. 2009 12:12

Re: Součet lim sup, lim inf

#8 17. 01. 2009 15:52

Re: Součet lim sup, lim inf

#9 17. 01. 2009 17:09

Re: Součet lim sup, lim inf

#10 17. 01. 2009 19:41 — Editoval karel.brinda (17. 01. 2009 19:43)

Re: Součet lim sup, lim inf

Zápatí