Matematické Fórum

ivanya · 02. 10. 2013 14:51 — Editoval ivanya (02. 10. 2013 14:53)

Viete mi prosim niekto poradit s nasledujucim prikladom?

Matematickou indukciou urcite sucet 1+3+5+...+(2n-1) ak plati, ze n $\in$ N, n $\ge$ 1.

Moze to fungovat takto?
F(n)=1+3+5+...+(2n-1)
Ak n=1 tak potom F(1)=(2*1-1)=1.
Predpoklad: F(k)=(2k-1) tak potom plati, ze F(k+1)=(2(k+1)-1)
F(k+1)=1+3+5+...+(2k-1)+(2(k+1)-1)=(2k+1)+(2k+2-1)=2(2k+1)

Mozno teda za riesenie povazovat nasledovne?
F(n+1)=1+3+5+..+2(2n+1)

Rumburak

↑ ivanya:

Nene. Ty jsi indukcí vybudovala DEFINICI SYMBOLU $1+3+5+...+(2n-1)$ , ale smyslem úlohy je vyjádřit
hodnotu tohoto symbolu jako funkci $S(n)$ tak, aby počet operací byl konečný, bez těch teček (...) a nezávisel
na čísle $n$ .

ivanya · 02. 10. 2013 15:45

↑ Rumburak:

Je mozne tu hodnotu vyjadrit matematickou indukciou? Nie je MI len dokazovacou metodou?
Mozes mi prosim pomoct viac? Som uplne stratena v preklade :)

Rumburak · 02. 10. 2013 16:35

↑ ivanya:

Princip matematické indukce může sloužit jak k důkazu, tak k definici. Tzv. rekurentní definice posloupností
jsou definicemi pomocí indukce, např. $a_1 = 4 , a_{n+1} = 2a_n - 7$ je takovou definicí, pomocí níž
je jednoznačně určena jistá posloupnost $(a_n)$ .

Není mi teď úplně jasné, co Tvá úloha požaduje. Označme

(1) $S(n) = 1+3+5+...+(2n-1)$ pro $n = 1, 2, 3, ...$ .

První možnost je, že se pomocí indukce má vylepšit definici (1) symbolu $S(n)$ , a sice rekurentním předpisem

$S(1) = 1 , S(n+1) = S(n) + $2(n+1) - 1$$ ,

o co ses (možná ne zcela uvědomněle) pokoušela Ty, teprve nyní jsem si ale všiml, že tam máš chybu.

Druhá možnost je, že indukcí se má provést důkaz známého vzorce $S(n) = n^2$ (který je speciálním
případem obecnějšího vzorce pro součet prvních $n$ členů aritmetické posloupnosti).

LukasM · 02. 10. 2013 16:45 — Editoval LukasM (02. 10. 2013 16:49)

Ahoj. Úlohu bych chápal v tom druhém smyslu, tedy uhodnout výsledek a vztah dokázat indukcí (kdo zná aritmetickou posloupnost, hádat nemusí). Pár podobných úloh jsem někde viděl, a byly myšlené takhle.

Edit: smazána kritika jedné věty co napsal Rumburak, kterou jsem ale původně špatně přečetl.

ivanya · 02. 10. 2013 17:20

↑ Rumburak:

Uloha znela doslovne tak ako som napisala:
Matematickou indukciou urcite sucet 1+3+5+...+(2n-1) ak plati, ze n $\in$ N, n $\ge$ 1.
Takze:
S(n)=1+3+5+...+(2n-1)
Kedze nepoznam druhu stranu rovnice, neviem povedat comu sa rovna S(n). Tu som urobila tu chybu.
Mozem len predpokladat, ze
S(n+1)=1+3+5+...+(2n-1) + (2(n+1)-1) plati, kedze plati S(n).
Takze, S(n+1)=(2n-1)+(2n+1)

To je asi jedine co viem z toho zadania urcit pomocou MI. Predpokladam, ze ulohou sme sa mali asi dostat k znamemu vzorcu, o ktorom pises, 1+3+5+..+(2n-1)=n $^{2}$ ale naozaj netusim akym sposbom sa tam dopracovat.

Eratosthenes · 02. 10. 2013 17:34

↑ ivanya:

Ahoj,

je třeba rozlišovat:

1) Dokázat něco matematickou indukcí - to je poměrně jednoduché: dostaneš zadané nějaké tvrzení, třeba

$2+4+6+...+2n = n\cdot (n+1)$

a máš to dokázat.

2) Máš-li součet 2+4+6+...+2n určit, znamená to, že na předchozí vzoreček, který máš dokazovat, musíš nejdříve sama přijít, tj. vyslovit hypotézu o tom, jak by to mohlo být. Nejlépe se to dělá tak, že si napíšeš dostatečný počet prvních součtů:

2+4 = 6

2+4 + 6 = 12

2+4+6+8 = 20

atd.

a snažíš se přijít na to, jak to funguje. Tomuto postupu se někdy říká neúplná indukce.

Takže postup znáš, vzoreček pro součet sudých čísel taky, zkus přijít na součet těch lichých.

ivanya · 03. 10. 2013 15:09

↑ Eratosthenes:

Takze asi takto mi to vychadza s pouzitim vzorca AP
$S(n)=(n\cdot (1+(2n-1))/2=(n\cdot 2n)/2=2n^{2}/2=n^{2}$

Teraz uz len dokazat
$1+3+5+..+(2n-1)=n^{2}$ pomocou MI a priklad vyrieseny?

Eratosthenes · 03. 10. 2013 16:52

↑ ivanya:

Je to tak.

Matematické Fórum

#1 02. 10. 2013 14:51 — Editoval ivanya (02. 10. 2013 14:53)

Sucet pomocou matematickej induckie

#2 02. 10. 2013 15:02 — Editoval Rumburak (02. 10. 2013 15:09)

Re: Sucet pomocou matematickej induckie

#3 02. 10. 2013 15:45

Re: Sucet pomocou matematickej induckie

#4 02. 10. 2013 16:35

Re: Sucet pomocou matematickej induckie

#5 02. 10. 2013 16:45 — Editoval LukasM (02. 10. 2013 16:49)

Re: Sucet pomocou matematickej induckie

#6 02. 10. 2013 17:20

Re: Sucet pomocou matematickej induckie

#7 02. 10. 2013 17:34

Re: Sucet pomocou matematickej induckie

#8 03. 10. 2013 15:09

Re: Sucet pomocou matematickej induckie

#9 03. 10. 2013 16:52

Re: Sucet pomocou matematickej induckie

Zápatí