Matematické Fórum

green19 · 03. 10. 2013 16:31

Ahojte, potrebujem poradit s takouto ulohou. Ak funkcionalny rad fn konverguje k f na mnozinach M1 a M2, konverguje fn k f aj na ich zjednoteni a prieniku? Vdaka.

Eratosthenes · 03. 10. 2013 16:57

↑ green19:

Ahoj,

v obou případech ano.

green19 · 03. 10. 2013 16:58

A akym sposobom by si to dokazoval?

Eratosthenes · 03. 10. 2013 17:51

↑ green19:

Dejme tonu, že jde o konvergenci bodovou. Jestliže fn -> f na M1 a fn -> f na M2, pak

$\left( \forall a\in M_1: f_n(a)\rightarrow f(a)\right) \wedge \left( \forall b\in M_2: f_n(b)\rightarrow f(b)\right)$

Zkrátka: je-li "červený" každý prvek M1 i každý prvek M2, musí být "červené" i celé sjednocení, tím spíš celý průnik. Jenom místo "červené" tady máme tu konvergenci.

Zcela formálně: předchozí výrok znamená :

$\forall c: \left(c\in M_1\Rightarrow f_n(c)\rightarrow f(c)\right) \wedge \left(c\in M_2\Rightarrow f_n(c)\rightarrow f(c)\right)$

Označíme-li $c\in M_1$ jako výrok p, $c\in M_2$ jako výrok q, $f_n(c)\rightarrow f(c)$ jako výrok z, máme

$(p => z) \wedge (q=>z)$

který je ekvivalentní s

$(p \vee q) =>z$

(možno ověřit tabulkou). Takže

$\forall c: \left( c\in M_1\vee c\in M_2\right) \Rightarrow f_n(c)\rightarrow f(c)$

$\forall c: c\in M_1\cup M_2 \Rightarrow f_n(c)\rightarrow f(c)$

Matematické Fórum

#1 03. 10. 2013 16:31

funkcionalne rady

#2 03. 10. 2013 16:57

Re: funkcionalne rady

#3 03. 10. 2013 16:58

Re: funkcionalne rady

#4 03. 10. 2013 17:51

Re: funkcionalne rady

Zápatí