Matematické Fórum

OndraVesely · 03. 10. 2013 17:13

Dobrý den, nevím si rady s tím typem úloh, kde je třeba zjistit supremum nějakého výrazu.

Jsem obeznámen s tím typem příkladů, kdy máte zadán výraz a jeho supremum, a chce se po vás abyste to dokázali že to platí. Ovšem se teď setkávám s příklady kdy se musí vyšetřit např. stejnosměrná konvergence funkční posloupnosti, součástí těchto příkladu je vyšetření suprema (zjištění jeho hodnoty). Mohl by mi někdo napsat jak se to řeší (nebo např. nějaký odkaz na řešené příklady)

Př: Vyšetřete stejnosměrnou konvergenci $(f_n(x))_{n=1}^\infty=\left( \sqrt[n]{1+e^{-nx}} \right)_{n=1}^\infty$ na množině $\mathbb{R}^{+}_0$

- normálně spočítám limitu $f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=1$ pro x>=0
- teď mám problém s tím supremem $\alpha_n = sup|f_n(x)-f(x)|=sup|\sqrt[n]{1+e^{-nx}}-1|=?$ .
Něco mi říká, že pokud budu neustále zvětšovat n tak se ta odmocnina bude zmenšovat k 1, tzn že celá absolutní hodnota se bude blížit k 0. Avšak sup 0 = neexistuje.

- kdyby se mi podařilo vyřešit so supremum, tak bych udělal $\lim_{n\to\infty}\alpha_n$ , pokud by vyšla 0, pak konverguje stejnosměrně.