Matematické Fórum

Skrytý text:
Řády prvků:
.
Třídy konjugovaných prvků
,
, protože je komutativní a , proto .
, protože a další prvek řádu čtyři už není.
, protože a ,
, protože zbývají dva a nejsou v centru, takže musí být navzájem konjugované.
Centrum
(ověřeno výše).
Podgrupy
, ,
Řádu 2 .
Řádu 4 a další s dvouprvkovým generátorem, které negenerují celé : zkouším dvojice z :
,
, obě izomorfní (mají jen prvky řádu dva a je to grupa řádu ).
Další už nejsou: dvojice . Zjevně lze totiž generovat generátor podgrupy .
Centralizers
, protože jsou z centra. Protože platí , stačí vždy zkoušet komutativitu s jedním prvkem každé nadgrupy.
, větší není, jinak by to už byla celá grupa a tudíž by musely být z centra.
Musí obsahovat centrum a být vlastní podgrupou, takže jiná možnost není, stejně jako:
.
Edit: Vlastně jsem mohla využít toho, že , kde .
Normalizers
,
Pro je . Z definice plyne, že stačí zkoušet z každé nadgrupy jediný prvek a jeho příslušný vnitřní automorfismus. Protože je , je příslušný vnitřní automorfismus identitou, takže každá podgrupa je vzhledem k němu invariantní. Proto . Nebo by se dalo argumentovat tak, že
. Odtud
. Je , odkud .
Podobně, . Tyto podgrupy řádu dvě tedy nejsou normální.
, protože je například .
, protože a ,
, protože a .

Hledala jsem nedávno trojici podgrup jako tyto:
a , přitom .
Faktorgrupy
Zajímavé jsou faktorgrupy podle normálních podgrup řádu dvě -- ta je vlastně jediná . je řádu , je tedy komutativní a izomorfní buďto nebo .
Je a , takže je .
Grupa derivací
Využijme toho, že . Konkrétně, izomorfismem je třeba: , . Odtud, můžeme považovat prvky za permutace s lichým znaménkem. Grupa derivací takové obsahovat nemůže. Zbývá vybrat grupu z prvků . Zřejmě je vlastní podgrupou, protože není komutativí a má netriviální centrum. Všimneme si, že , protože každý takový prvek by musel jít napsat jako a v součinu musí být aspoň jednou člen , tedy je tam právě dvakrát nebo právě čtyřikrát. To se pak ale vždy vyruší a zůstane rotace. Je
.

Skrytý text:
Buď jsou jiného řádu a vnitřní automorfismus je automorfismem, takže zachovává řád, nebo když už existuje otočení, jež je řádu dva, pak je asi v centru (domněnka), takže s ním není nikdo jiný konjugovaný.