Matematické Fórum

TerezaG

Zdravím :) ..potřebovala bych poradit s dokončením následujícího příkladu:
Dokažte pomocí matematické indukce:

$\sum_{k=1}^{n}k(-1)^k=\frac{2n+1}{4}(-1)^n-\frac{1}{4}$
Pro $n=1$ je:
$V(1)$ : $-1=-1$ tj. $L=P$
Teď pro $V(n+1)$ :
$\sum_{k=1}^{n+1}k(-1)^k=\frac{2(n+1)+1}{4}(-1)^(n+1)-\frac{1}{4}$ K čemuž musíme potom dojít v závěru důkazu.
Teď ke každé straně rovnice přičteme poslední člen sumy, tj :
$\sum_{k=1}^{n}k(-1)^k+(n+1)(-1)^(n+1)=\frac{2n+1}{4}(-1)^n-\frac{1}{4}+(n+1)(-1)^(n+1)$

No a hledám, zda $\frac{2n+1}{4}(-1)^n-\frac{1}{4}+(n+1)(-1)^(n+1)$ se rovná předpokladu, potřebovala bych ale poradit s úpravou tohoto výrazu, nějak mi to nevychází...
$\frac{2n+1}{4}(-1)^n-\frac{1}{4}+(n+1)(-1)^(n+1)$

Moc děkuji :)

zdenek1 · 04. 10. 2013 17:54

↑ TerezaG:
$\frac{2n+1}{4}(-1)^n-\frac14+(n+1)(-1)^{n+1}=-\frac{2n+1}{4}(-1)^{n+1}-\frac14+(n+1)(-1)^{n+1}=$
$\frac{-2n-1+4(n+1)}{4}(-1)^{n+1}-\frac14=\frac{2n+3}{4}(-1)^{n+1}-\frac14$