Matematické Fórum

Martin95k · 05. 10. 2013 18:58

Dobrý den,

Mohl bych Vás poprosit o radu ohledně tohoto příkladu?

Rce paraboly: $y^{2}-4y-6x+22=0$
Úkol: Nalezni tečnu paraboly, která je rovnoběžná s přímkou y=x.

Postupoval jsem:

vrcholová rce: $(y-2)^{2}= 6(x-3)$
vrchol: $[3,2]$
parametr: $p=3$
ohnisko: $F[\frac{9}{2},2]$
řídící přímka: $q: x=\frac{3}{2}$

- poté jsem si vypočítal rovnici, která prochází bodem F a je kolmá k y=x, ale nejsem si
jistý, jestli dobře.... $y=\frac{13}{2}-x$
- od tohoto kroku je to nejspíš špatně

- poté jsem počítal průsečík y=13/2 - x s řídící přímkou
- vyšel mi bod M, v polovině vzdálenosti bodu M a ohniska F by měl ležet bod T(místo, kde se dotýká
tečna a parabola)
- po dosazení mi ta rovnice tečny vyšla špatně

Správný výsledek: $t: 2y-2x-1=0$
Tento postup se mi zdá komplikovaný, ale je to jediný, na který jsem narazil.
Díky za rady

Bati · 05. 10. 2013 19:16

Ahoj.
Proč tak složitě? Navíc o té parabole nepotřebuju vědět skoro nic, abych tu tečnu našel, protože už jenom informace, že je rovnoběžná s přímkou y=x mi říká, že ta rovnice tečny vypadá takto: $y=x+q$ , kde q je zatím neznámé. Teď stačí dosadit za y do úplně první rovnice té paraboly a určit q tak, aby ta vzniklá kvadratická rovnice v x měla právě jeden kořen (protože to má být tečna), tj. diskriminant bude 0.

zdenek1 · 05. 10. 2013 19:18

↑ Martin95k:
pokud je přímka rovnoběžná s danou přímkou, má rovnici $y=x+q$
dosadíš do rovnice paraboly a určíš $q$ tak, aby byl diskriminat rovnice roven nule.

gadgetka

rovnice tečny, která je rovnoběžná s přímkou y=x, bude mít stejnou směrnici, k=1, čili její rovnice bude $y=x+q$
$(x+q)^{2}-4(x+q)-6x+22=0$
$x^2+2xq+q^2-4x-4q-6x+22=0$
$x^2+2(q-5)x +q^2-4q+22=0$

Přímka je tečnou, jestliže D=0

$[2(q-5)]^2-4(q^2-4q+22)=0$
$4q^2-40q+100-4q^2+16q-88=0$
$12=24q$
$q=\frac{1}{2}$