Matematické Fórum

kostik · 06. 10. 2013 12:30

Maria ma 15 roznych kniziek.
a) kolkymi moznymi sposobmi ich moze ulozit na jednu policku- samozrejme 15!
b)kolkymi sposobmi ich moze ulozit na dve policky pricom stale musi byt na jednej policke aspon 1 kniha?

Neviem si poradit stym b...Budem vdacny za akekolvek rady.

Bati · 06. 10. 2013 12:45

↑ kostik:
b) $\sum_{i=1}^{14} i!(15-i)!$

kostik · 06. 10. 2013 13:14

↑ Bati:
hmmm a niaky postup za tym?

Stýv · 06. 10. 2013 13:23

↑ kostik: řekl bych, že $i$ má být počet knih na první poličce, pak jsou tam počty uspořádání na jednotlivých poličkách. chybí mi tam ale počet možností, kolika způsoby jde vybrat těch $i$ knih na první poličku

Jj · 06. 10. 2013 14:28

↑ kostik:

Dobrý den, zkusím jen názory "shrnout" (příklad b):
Umístím-li 'i' knih na první poličku, pak pro druhou zbývá automaticky '(15-i)' knih. Právě 'i' knih na první poličku mohu z 15-ti knih vybrat ${15 \choose i}$ způsoby. Na jednotlivých poličkách mohu knihy uložit i! a (i-1)! způsoby.

Pak počet možných způsobů:
$\sum_{i=1}^{14}{15 \choose i} i!(15-i)!=\sum_{i=1}^{14}\frac{15!}{i!(15-i)!} i!(15-i)!=\sum_{i=1}^{14}15!=15!\sum_{i=1}^{14}=15!\cdot 14$

Pokud jsem se tedy nezmýlil.

Myslím, že výsledek koresponduje s příkladem a).

kostik · 06. 10. 2013 15:47

↑ Jj:
dobry den,
len stale nechapem preco tam vsetci hrnu tie kombinacne cisla ked ide v podstate o variacie

Jj · 06. 10. 2013 16:30

↑ kostik:

Myslím, že to vyjde nastejno:

Pokud uvažujeme, jak jsem uvedl, součin permutací počtu knih na každé poličce vynásobený počtem možností, jak tyto knihy vybrat), je třeba uvažovat kombinace. Vybere se 'i' knih tak, že nezáleží na jejich pořadí, všechna pořadí pak dostaneme permutacemi:

${15 \choose i}\cdot i! = \frac{15!}{i!(15-i)!}\cdot i!=\frac{15!}{(15-i)!}$

Nebo můžeme vybrat 'i' knih tak, že záleží na jejich pořadí, pak bychom už knihy na 1. poličce nepermutovali (všechny možnosti už budou zahrnuty v počtu variací):

$V(i,15)=\frac{15!}{(15-i)!}$

Na druhé poličce je nutnou v obou případech uvažovat permutace.

V obou případech dojdeme k celkovému počtu = $14 \cdot 15!$ a ten jsme měli podle úlohy zjistit. Způsob s kombinacemi navazoval na úvahy kolegů a mi osobně připadá nějak srozumitelnější.

Pokud se tedy nepletu.

zdenek1 · 06. 10. 2013 19:43

↑ Jj:
A co takto: zamíchám všechny knihy v řadě. To mám 15!. A pak někde vyberu jednu ze 14-ti mezer mezi nimi, čímž si je rozdělím na první poličku a druhou poličku

Jj · 06. 10. 2013 19:59

↑ zdenek1:

Vlastně jsem chtěl v podstatě totéž ještě dopsat zde ↑ Jj: za poslední větou, ale nějak mi to vypadlo. Tou 'korespondencí' s výsledkem a) jsem myslel formální shodu s výsledkem 14 (mezer)*15! = celkový počet možností. Ale napadlo mně to až po zjištění počtu možností výpočtem.

Matematické Fórum

#1 06. 10. 2013 12:30

Permutacie

#2 06. 10. 2013 12:45

Re: Permutacie

#3 06. 10. 2013 13:14

Re: Permutacie

#4 06. 10. 2013 13:23

Re: Permutacie

#5 06. 10. 2013 14:28

Re: Permutacie

#6 06. 10. 2013 15:47

Re: Permutacie

#7 06. 10. 2013 16:30

Re: Permutacie

#8 06. 10. 2013 19:43

Re: Permutacie

#9 06. 10. 2013 19:59

Re: Permutacie

Zápatí