Matematické Fórum

TerkaS · 06. 10. 2013 21:53

Ahooj :) prosím není tu někdo, kdo by mi vysvětlil tyto příklady z Petákové - jsou to objemy a povrchy těles, strana 96.

1. Objem kvádru ABCDEFGH se čtvercovou podstavou je 64 cm3. Odchylka tělesové úhlopříčky AG od roviny podstavy je 45 stupnů. Vypočítejte jeho povrch.

2. Délky hran čtyřboké hranolu jsou v poměru a:b:c= 2:4:5. Povrch hranolu je 57cm2. Vypočítejte jeho objem.

Děkuju moc za všechny rady. Terka

Freedy · 06. 10. 2013 21:58

1. načrtni si trojúhelník, přepona je tělesová uhlopříčka, jedna odvěsna je uhlopříčka čtverce (hrana čtverce je 8 takže 8*odmocnina ze dvou) a třetí strana je výška kvádru. Přes goniometrické funkce dopočítáš zbylé strany. Povrch je už hračka.

Freedy · 06. 10. 2013 22:01

2. čtyřbokého hranolu? :D neni to náhodou trojboký hranol? Povrch se skládá z dvou trojúhelníkových podstav a 3 obdélníků. Zjisti si délky stran a potom je objem hračka.

TerkaS · 06. 10. 2013 22:10

Promin, ale moc to nechápu, nevysvětlil bys mi to prosím podrobněji?

Freedy · 06. 10. 2013 22:16 — Editoval Freedy (06. 10. 2013 22:30)

1) ---
Načrtni si kvádr. Označ podstavu ABCD (začni vlevo vepředu a jdi normálně doprava dozadu doleva)
Horní podstavu stejně EFGH
Strana AB je 8. Stejně tak BC, CD, AD. Uhlopříčka čtverce je odmocnina ze dvou krát strana. Takže 8 odmocnin ze dvou.
Vezmi si trojúhelník například ACG. Odvěsna AC = 8*2^(1/2), úhel CAG je 45 stupňů. AG = tělesová uhlopříčka. CG - výška kvádru.
tangens 45° je 1. Výška toho kvádru je teda 8 odmocnin ze dvou. A čtvercová podstava se stranou 8

2)
U tý dvojky vlastně, čtyřboký hranol je kvádr. Nevěděl sem že je to až takhle lehký.
Takže povrch je 57 cm2. Poměr stran 2:4:5
Povrch kvádru je S = 2(ab+ac+bc)
S = 2(8k+10k+20k)
57 = 16k+20k+40k
57 = 66k
k = 57/66.
Vyjdou asi něpěkná čísla. objem už si spočítej V = abc

TerkaS · 06. 10. 2013 22:27

Děkuju, ale stejně nerozumím :(

Freedy · 06. 10. 2013 22:29

Jsou tyto úlohy určeny pro tebe? Znáš už pojmy sinus kosinus tangens, pythagorova věta a tak? Nic víc tam neni.

TerkaS · 06. 10. 2013 22:34

Ano, to znám, ale například nevím jak jsi zjistil u toho prvního příkladu délku hrany? Proč osm?

Freedy · 06. 10. 2013 23:22

Aha, omlouvám se, myslel jsem že 64 je obsah čtvercové podstavy.
Tak znovu.

1)
Takže, objem kvádru je V = abc. Čtvercová podstava takže je to vlastně V = a^2 * b
V = 64
64 = a^2 * b.
Odchylka tělesové uhlopříčky od roviny podstavy je 45°. Je to úhel mezi stěnovou uhlopříčkou (dolní čtverec) a tělesovou uhlopříčkou. Máš teda trojúhelník ACG kde AG je tělesová uhlopříčka, AG je a*odmocnina ze dvou a CG je vlastně a*odmocnina ze dvou, protože tangens 45° = 1.
Máš teda:
$64 = a^2(a\sqrt{2})$
Z toho vypočítáš všechny strany. Pak už jen spočítáš povrch

gadgetka

Chybka se vloudila...

2)
U tý dvojky vlastně, čtyřboký hranol je kvádr. Nevěděl sem že je to až takhle lehký.
Takže povrch je 57 cm2. Poměr stran 2:4:5
Povrch kvádru je S = 2(ab+ac+bc)
$S = 2(8k^2+10k^2+20k^2)$
$57 = 16k^2+20k^2+40k^2$
$57 = 76k^2$
$k = \sqrt{\frac{57}{76}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt 3}{2}$
Vyjdou asi něpěkná čísla. objem už si spočítej V = abc

$V=abc$
$V=2k\cdot 4k\cdot 5k=40k^3$
$V=40\cdot $\frac{\sqrt 3}{2}$^{3}=40\cdot \frac{3^{\frac{3}{2}}}{8}=5\cdot 3\cdot \sqrt{3}=15\sqrt{3}\enspace \text{cm}^3$