Matematické Fórum

↑ farentkik:

Řekl bych, že máte najít průsečík dané roviny s kolmicí na uvedenou rovinu, spuštěnou z boru B.

↑ farentkik:

Zkusme to takto:  Rovina je dán bodem  A(2,3,3) a vektory s(1,1,0), t(2,1,1)
                            Bodem B(4,5,6) vést kolmici k rovině a vypočítat průsečík s rovinou.

Neznámý směrový vektor kolmice  n(nx,ny,nz) bude kolmý k vektorům s, t, takže jej určíme z podmínky, že skalární součin kolmých vektorů = 0:

1nx + 1ny + 0nz = 0
2nx + 1ny + 1nz = 0
----------------------
Máme dvě rovnice o 3 neznámých, jednu nezmámou si tudíž můžeme vhodně zvolit, např. nz = 1,
pak obdržíme řešení  n(-1,1,1)

Označíme-li parametry rovnice roviny u, v a rovnice kolmice w (u, v, w jsou reálná čísla) , jsou

parametrická rovnice roviny:           parametrická rovnice kolmice k rovině bodem B: 
x = 2 + 1u + 2v                               x = 4 - w
y = 3 + 1u + 1v                               y = 5 + w
z = 3 + 0u + 1v                               z = 6 + w

Porovnáním souřadnic rovnic přímky a roviny a řešením soustavy rovnic
2 + 1u + 2v  = 4 - w
3 + 1u + 1v  = 5 + w
3 + 0u + 1v  = 6 + w

obdržíme  u = -1, v = 2, w = -1

a souřadnice průsečíku P kolmice a roviny budou
x = 4 - w = 5
y = 5 + w = 4
z = 6 + w = 5

Čili řešením je bod P(5,4,5)
Tento bod musí vyhovovat i parametrické rovnici roviny.

Pokud jsem se tedy nezmýlil.

Úlohu by šlo řešit i jinak než parametrickými rovnicemi, takto mi to připadá nejjednodušší.