Matematické Fórum

↑ Sandrastrelcova:
Ahoj,
to přímo zavání indukcí.

pro n=1
Snadno si ověříš, že takové reálné x existuje - x=1.

Předpokládej, že rovnost už pro n platí a chceš ukázat, že platí i pro n+1.

Tady je dobré si uvědomit, že součin dvou celých čísel je opět celé číslo:


Z toho už vidíš, že si můžeš (n+1)-vý výraz vyjádřit jako kombinaci n-tého a (n-1)-ního takovou, že pokud jde o celá čísla, je i (n+1)-ní výraz celočíselný.

pozn.: Protože saháš indukcí o dva kroky zpět, je třeba si ověřit, že výraz platí i pro n=2, abys mohla začít pro n=3.

↑ Sandrastrelcova:
V indukčním kroku máš nejen n-ty prvek, ale i (n-1)-ní prvek - tedy aby to bezpečně fungovalo jako indukce, musíš mít zaručeno, že vztah platí pro n=1 a n=2.

↑ Sandrastrelcova:
Problém jsem si totiž jen lehce přeformuloval: Dokažte, že pro všechna x, pro která platí, že x+1/x je celé, je výraz x^n + 1/x^n celý pro všechna n. Tady už je ta indukce lépe vidět.

Že indukce probíhá ve dvou krocích, to snad víš:-)


První krok: Dokáži, že dokazované tvrzení platí pro n=1. Tedy obecněji, dokážu, že platí pro nějaká malá n. Zde vyplyne dále, že si musím ukázat, že platí pro n=1 a n=2.  To bych měl dokázat obecně, ale protože jsem to nechtěl komplikovat, ukázal jsem, že to platí pouze pro nějaké x. Korektní důkaz je totiž ještě trochu komplikovanější.

Vyjdeš totiž z toho, že výraz nabývá celočíselných hodnot pro všechna reálná x, která jsou řešením rovnice:


, kde k je celé číslo (rovnici získáš jednoduchou úpravou zadání).

Dále je třeba ukázat, že toto platí i pro n=2, protože indukční krok pro výpočen (n+1)-ního členu využívá n-tého a (n-1)-tého členu. Jinými slovy, v indukčním kroku předpokládám, že výraz platí již pro dva předešlé výrazy, takže musím existenci dvou výrazů (tj. pro n=1 a n=2) zajistit.

Vím, že součin dvou celých čísel je celé číslo. Když tedy vynásobím dva první členy (tj. x+1/x), dostanu opět celé číslo:


Z toho si můžu vyjádřit:


Jenže na levé straně je nyní výraz pro n=2, na pravé pro n=1 (ten je z předpokladu již celočíselný) a od něj je odečte přirozené číslo 2. Tedy výraz na levé straně je také celočíselný.

No a teď vlastní indukční krok, zde lehce modifikovaný: Dokážu, že když to platí pro n-1 a n, musí to platit i pro n+1.

Finta je zcela stejná, vyjde vztah zde: ↑ Formol:. Z něj si jen vyjádříš n+1 člen:



No a na pravé straně rovnice máš tři závorky, které jsou již z předpokladu celočíselné. Děláš s nimi operace, které vedou také na celočíselné operace. Takže výraz na pravé straně rovnice je celočíselný a tedy celočíselným bude nutně i výraz na levé straně rovnice.

Zkus si to projet s tužkou v ruce na papír krok za krokem, pak by to mělo být jasnější. Jediná "finta", kterou jsem tady použil, bylo to, že jsem si nejprve zkusil vynásobit n-tý a první člen, jestli to k něčemu rozumnému povede - a teprve potom jsem se vrhl na první krok. Proto jsem dopředu věděl, že si musím první krok ověřit pro n=1 a n=2.