Matematické Fórum

rama27 · 08. 10. 2013 19:47

Dokažte indukcí, že: $n!\le (\frac{n+1}{2})^{n}$
První krok, dosadil jsem za n+1: $n!(n+1)\le (\frac{n+2}{2})^{n+1}$
Na cvičení jsme, pro mě záhadně, upravili pravou stranu rovnice na $(n+1)\cdot (\frac{n+1}{2})^{n}$
Vysvětlíte mi, prosím, jak jsme na to přišli? Nebo jsem to špatně opsal? :)

JohnPeca18 · 08. 10. 2013 20:19

Z indukcneho predpokladu mas
$n!\le (\frac{n+1}{2})^{n}$
To pouzijes pre odhad vyrazu $n!(n+1)$ , ze
$n!(n+1)\leq (n+1)\cdot (\frac{n+1}{2})^{n}$
Aby si dokoncil dokaz musis dokazat, ze
$(n+1)\cdot (\frac{n+1}{2})^{n}\leq (\frac{n+2}{2})^{n+1}$
z coho potom
$n!(n+1)\le(n+1)\cdot (\frac{n+1}{2})^{n}\leq (\frac{n+2}{2})^{n+1}$

LukasM · 08. 10. 2013 20:50

↑ rama27:
Já k tomu jen doplním, že nic nedokážeš dokud to pro nějakou konkrétní hodnotu nezkusíš. Teprve potom ti ta indukce říká, že to platí taky pro všechna vyšší přirozená čísla (pokud ji teda dokončíš).
Jinak bys takhle třeba mohl "dokázat", že $(\forall n\in \mathbb{N})(2^n=0)$ .

JohnPeca18 · 08. 10. 2013 21:00

↑ LukasM:

Ano to je pravda, dakujem za doplnenie.

Inak trochu odbocim, myslite, že dôkaz indukciu može začať aj inak ako u prirodzených čísel? Niekto mi totiž tvrdil, že dôvod, prečo sa niekedy 0 radí medzi prirodzené čísla je ten, že niekedy je potrebné začať indukciu od 0. Ale podľa mňa to nie je dobrý dôvod. Viem si živo predstaviť, že by mohol nastať prípad, že chcem začať indukciu od povedzme od čísla n=-5 a dokážem vetu pre všetky čísla vyššie, teda -4,-3, -2. . .0,1, . .100,101 . . atd. A nebudem kvôli tomu zaraďovať -5 k prirodzeným čislam. Verím, že by sa to dalo proste urobiť nejakou fintou, že si povedzme to n, napisem ako n=m-6 a budem robiť indukciu podla m. No tak to len taka rečnícka myšlienka na zamyslenie :)

LukasM · 08. 10. 2013 21:15

↑ JohnPeca18:
Nevím, ale přijde mi že v té logice indukčního důkazu vůbec nezáleží na tom, jak té příslušné množině čísel říkám, ne? :-) Pokud uděláš to cos napsal, tak to máš dokázané pro všechna celá čísla včetně nuly, která jsou větší než -6. Není důvod se za to stydět a převádět to na přirozená čísla.

JohnPeca18 · 08. 10. 2013 21:37

↑ LukasM:
no já nevím. Mám za to, že indukce je formálne zavedená na prirozených číslech. To že se nemusím stydět za jiné množiny čísel je síce hezké :) Ale nevím jestli by to prošlo. Ale jasný no, to je otázka jak moc to chce člověk dělat formálne. Logicky to samozrejme funguje i pro jiné množiny ale postreh by asi měl být, že to funguje (práve?) tehdy, když to lze na ty přirozené čísla prevést.

Matematické Fórum

#1 08. 10. 2013 19:47

Matematická indukce

#2 08. 10. 2013 20:19

Re: Matematická indukce

#3 08. 10. 2013 20:50

Re: Matematická indukce

#4 08. 10. 2013 21:00

Re: Matematická indukce

#5 08. 10. 2013 21:15

Re: Matematická indukce

#6 08. 10. 2013 21:37

Re: Matematická indukce

Zápatí