Matematické Fórum

Borek22 · 05. 10. 2013 15:05

Dobrý den, zasekl jsem se, a prosím o pomoc.

Příklad zní takto: Nechť p,q jsou prvočísla taková, že p beze zbytku dělí $q^{3}-1$ a q beze zbytku dělí $p-1$ . Dokažte, že $p = 1+q+q^{2}$ .

Postupoval jsem takto: Rozložil jsem $q^{3}-1$ na $(q-1)(q^{2}+q+1)$ a řekl si, že jeden z těchto výrazů musí být dělitelný p.

(q-1) to být nemůže, protože z předpokladu, že q dělí (p-1) pak vychází logický nesmysl.

Řeknu tedy, že $\frac{(q^{2}+q+1)}{p}=k$ .

Jak ale dokážu, že k=1?

Předem díky za odpověď.

Brano · 08. 10. 2013 11:10

Dostanes $q^2+q=kp-1$ a teda $q|kp-1$ co spolu s $q|p-1$ da, ze $q|(k-1)p$ a teda $q|k-1$ cize $k=qn+1$ . Kedze $k\ge 1$ tak $n\ge 0$ . Dalej vies, ze $q\le p-1$ a teda
$k=\frac{q^2+q+1}{p}\le\frac{(q+1)^2-q}{q+1}<q+1$ cize $qn+1<q+1$ z coho dostanes
$n<1$ a teda $n=0$ , $k=1$ a $p=q^2+q+1$ .