Matematické Fórum

OndraVesely · 10. 10. 2013 12:52

Zdravím,

Nevím si rady s tímto příkladem $\sup_{x \in \mathbb{R}}\left| \text{arctg}\left( \frac{x\sqrt{k}}{(x^2+8k^2)^{3/2}}\right)\right|=?$ Mohl by mi nekdo napsat postup? Diky

Brano · 10. 10. 2013 13:42 — Editoval Brano (10. 10. 2013 13:45)

najprv treba vysetrit vnuotrnu fciu t.j.
$f=\frac{x\sqrt{k}}{(x^2+8k^2)^{3/2}}$
kde $k$ je parameter.

Ak $k=0$ tak je to trivialne $f=0$ (len v $x=0$ nie je definovana, tak ju tam mozme takto dodefinovat). Ak nie, tak zavedme substituciu $y=\frac{x}{2k}$ - ta je bijektivna na $\mathbb R$ tak nestracame ziadnu informaciu a dostaneme
$f=\frac{y}{(y^2+2)^{3/2}}\frac{\sqrt k}{4k^2}$
a teda mozme skumat iba
$g=4k^{3/2}f=\frac{y}{(y^2+2)^{3/2}}$
to necham na teba - ja som to urobil vo W|A
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% … 283%2F2%29
jedna sa o neparnu fciu - treba najst kde je to maximum
http://www.wolframalpha.com/input/?i=ma … 283%2F2%29
minimum bude teda v $y=-1$
$\max f$ a $\min f$ dostaneme iba prenasobenim tou konstantou zavisiacou od $k$ a kedze $\text{arctg}$ je vsade rastuci, tak max a min toho vyrazu (bez absolutnej hodnoty) bude iba $\text{arctg}$ vysledkov a ked nakoniec uvazime aj to, ze $\text{arctg}$ je neparny tak ta absolutna hodnota nam da, ze max sa nadobuda aj v $y=1$ aj v $y=-1$ teda
$\sup_{x \in \mathbb{R}} \left|\text{arctg}\left( \frac{x\sqrt{k}}{(x^2+8k^2)^{3/2}}\right)\right|=\begin{cases}\text{arctg}\frac{1}{4(3k)^{3/2}} & \text{pre }k>0\\0&\text{pre }k=0\end{cases}.$

Matematické Fórum

#1 10. 10. 2013 12:52

Supremum fce arctg

#2 10. 10. 2013 13:42 — Editoval Brano (10. 10. 2013 13:45)

Re: Supremum fce arctg

Zápatí