Matematické Fórum

Sequence

Vyšetřete stejnoměrnou konvergenci $(f_n(x))_{n=1}^\infty=(\frac{nx}{1+n+x})_{n=1}^\infty$ na $\langle0,2\rangle$ .

Limita posloupnosti mi vysla f(x)=x. Při vyšetřování suprema $sup|\frac{nx}{1+n+x}-x|=sup|-\frac{x+x^2}{1+n+x}|$ jsem se pokoušel najít extrém funkce $-\frac{x+x^2}{1+n+x}$ . První derivace vyšla $(-\frac{x+x^2}{1+n+x})'=\frac{(-1-2x)(1+n+x)-(-x-x^2)}{(1+n+x)}$ . Stacionnární body jsou: $x_1=-n-1+\sqrt{n^2+n}$ , $x_2=-n-1-\sqrt{n^2+n}$ , $x_3=-n-1$ .

Nevím, jak dotáhnout do konce a zjistit ten extrém(maximum). Provedl jsem $\lim_{n\to\pm \infty}-\frac{x+x^2}{1+n+x}=0$ , dle té symetrie těch stacionárních bodů by maximum mělo být v tom bodě $x_3$ ??????- ale nevím jak se na to přijde ani zdali je to pravda

Poradťe prosím jak ten příklad dokončit.

Rumburak

↑ Sequence:

StejnoSměrný může být elektrický proud, u konvergence posloupnosti funkcí připadá v úvahu STEJNOMĚRNOST. :-)
Ale možná ses jen upsal, mně se to také stává.

To supremum není nutno počítat přesně (někdy by to mohl být i neřešitelný problém), stačí ho šikovně odhadnout, např.:

Pro $x \in \langle0,2\rangle , n > 0$ máme

$\left|-\frac{x+x^2}{1+n+x}\right| = \frac{x+x^2}{1+n+x} \le \frac{x+ x^2}{1 + n + 0} \le \frac{2+ 2^2}{1 + n} = \frac{6}{n+1}$ ,

takže pro $S_n := \sup_{x \in \langle0,2\rangle} \left|\frac{nx}{1+n+x}-x\right|=\sup_{x \in \langle0,2\rangle}\left|-\frac{x+x^2}{1+n+x}\right|$ vychézi $0 \le S_n \le \frac{6}{n+1}$
a podle věty o dvou policajtech je pak $\lim_{n \to \infty} S_n = 0$ , což k důkazu stejnoměrnosti zkoumané konvergence stačí.

Sequence

↑ Rumburak:JJ, někde na foru jsem hledal podobné příspěvky a někdo tam psal stejnosměrný viz kolega http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=65147, tak jsem se spletl ....

Děkuju za radu. A kdyby ten příklad byl zadán na $\mathbb{R}^+$ , tak tam už to ale tak, jak jste to udělal, udělat nemužu, ne?

Rumburak · 11. 10. 2013 10:40

↑ Sequence:

Na $\mathbb{R}^+$ bude vycházet

$S_n := \sup_{x \in \mathbb{R}^+} \left|\frac{nx}{1+n+x}-x\right|=\sup_{x \in \mathbb{R}^+} \frac{x+x^2}{1+n+x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x+x^2}{1+n+x} = +\infty$ ,

takže ta konvergence už stejnoměrná nebude, bude pouze lokálně stejnoměrná (předchozí úvahy s intervalem
$\langle0,2\rangle$ by se daly zobecnit na libovolný interval $\langle 0,K\rangle$ , kde $0 < K < +\infty$ . )

Sequence · 11. 10. 2013 10:43

↑ Rumburak: jj, díky

Matematické Fórum

#1 11. 10. 2013 08:46 — Editoval Sequence (11. 10. 2013 09:52)

Konvergence

#2 11. 10. 2013 09:37 — Editoval Rumburak (11. 10. 2013 09:42)

Re: Konvergence

#3 11. 10. 2013 09:55 — Editoval Sequence (11. 10. 2013 09:57)

Re: Konvergence

#4 11. 10. 2013 10:40

Re: Konvergence

#5 11. 10. 2013 10:43

Re: Konvergence

Zápatí