Matematické Fórum

Epoxi · 13. 10. 2013 15:37

Ahoj, potřeboval bych pomoct s důkazem lemmatu.

Nechť posloupnost funkcí $(f_{n}(x))^{\infty }_{n=1}$ konverguje k funkci $f(x)$ stejnoměrně na množině M. Nechť je zvolena množina $N\subset R$ , tak že $\emptyset \not = N\subset M$ . Pak posloupnost funkcí $(f_{n}(x))^{\infty }_{n=1}$ konverguje k funkci $f(x)$ stejnoměrně také na množině N.

Napišu si předpoklady $(\forall \varepsilon >0)(\exists n_{0}\in N): n\in N\wedge n\ge n_{0}\wedge x\in M\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon }{2}$

$(\forall \varepsilon >0)(\exists m_{0}\in N): m\in N\wedge m\ge n_{0}\wedge x\in N\Rightarrow |f_{m}(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon }{2}$

Položím $l_{0}=max\{n_{0},m_{0}\}$

Intuitivně je to jasný, ale jak to udělat matematicky.

JohnPeca18 · 13. 10. 2013 19:26

Je matouci mit podmnozinu $N \subset M$ i mit mnozinu N prirozenych cisel. Tak necht to je mnozina treba $\emptyset\neq B\subset M$
Predpokladam
$(\forall \varepsilon >0)(\exists n_{0}\in N) \forall x \in M, \forall n\in N\wedge n\ge n_{0}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$

A chci
$(\forall \varepsilon >0)(\exists l_{0}\in N) \forall x \in B, \forall n\in N\wedge n\ge l_{0}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$

Pro konkretni $\varepsilon$ polozim $l_0=n_0$ z predpokladu a veta bude platit, protoze kdyz plati
$\forall x \in M, \forall n\in N\wedge n\ge n_{0}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$ (do zneni nepisu
$(\forall \varepsilon >0)(\exists l_{0}\in N)$ , protoze mi uz konkretni epsilon a $l_0$ mame)
tak musi platit i
$\forall x \in B, \forall n\in N\wedge n\ge n_{0}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$
protoze $B \subset M$
Tohle muzem udelat pro libovolne $\varepsilon >0$ .

Takhle nejak bych to udelal ja. Je to spis takove formalne cviceni, tak nejsem si tim isty ale prijde mi to takhle dobre.

Matematické Fórum

#1 13. 10. 2013 15:37

Dukaz lemmatu

#2 13. 10. 2013 19:26

Re: Dukaz lemmatu

Zápatí