Matematické Fórum

fwvwg · 14. 10. 2013 18:29

Zdravím. Nějak mne nenapadá, jak jednoduše řešit následující příklady z kombinatoriky:

1. Kolika způsoby lze rozdělit 9 stejných autíček 4 dětem?

2. Kolika způsoby lze ubytovat 10 hostů:

a) Do jednoho čtyřlůžkového a dvou třílůžkových pokojů?
b) Do dvou třílůžkových a dvou dvoulůžkových pokojů?

Předem děkuji za pomoc.

Arabela · 15. 10. 2013 00:12

Ahoj ↑ fwvwg:,

k prvému príkladu: predstav si, že máš autíčka uložené vedľa seba a v mysli si vezmi tri paličky, ktorými od seba autíčka oddelíš. Vľavo od prvej paličky budú autíčka pre prvé dieťa, medzi prvou a druhou paličkou budú autíčka pre druhé dieťa, medzi druhou a treťou paličkou autíčka pre tretie dieťa a vpravo od tretej paličky budú autíčka pre štvrté dieťa. Každému autíčku i každej paličke prislúcha istá "pozícia". No a možných rozdelení je toľko, koľkými spôsobmi môžeme z 12 (=9+3) pozícií vybrať 3 pozície pre paličky, takže ${12 \choose 3}=220$ .
Úlohu možno riešiť aj podľa vzorca pre kombinácie s opakovaním, ale aj takto "logicky", s využitím trochy predstavivosti...

bonifax

↑ Arabela:

Ahoj, můžu se zeptat, jak by se to řešilo kombinacemi? $C'(9,4)=495$ ?

EDIT:

jaj pletu si n a k ..děkuji moc gadgetko :)

gadgetka

Kombinace s opakováním je dána vztahem
$K'(k, n) = {n+k-1 \choose k}$
$K'(9, 4) = {4+9-1 \choose 9}={12 \choose 9}={12 \choose 3}=\frac{12\cdot 11\cdot 10}{3\cdot 2}$

Rozdělujeme 9 autíček mezi 4 děti, takže devětkrát vybíráme jedno ze čtyř dětí, kterému dáme autíčko, jedná se o devítičlenné kombinace s opakováním ze 4 prvků. (k=9, n=4)