Matematické Fórum

ivanya · 15. 10. 2013 16:57

Ako na upravu odmocniny v exponente?

$4^{\sqrt{x+1}}=64\cdot 2^{\sqrt{x+1}}$

A zlozitejsich exponentov?

$(\frac{8}{5})^{\frac{2x+1}{x-1}}=(\frac{125}{512})^{3-x}$

gadgetka

Když si to napíšeš takto, už to složitě nevypadá, že?

$2^{2\sqrt{x+1}}=2^6\cdot 2^{\sqrt{x+1}}$

Ten druhý zkus podobně rozepsat sama...

ivanya · 16. 10. 2013 11:52

↑ gadgetka:

Stale to vyzera zlozito :( Co s tymi dvojkami dalej? Hlavne, ako mozem odstranit tu dvojku v exponente pred odmocninou?

Ten druhy priklad, tam sa mi podarilo zjednodusit len tu prvu zatvorku, pri tej druhej nemam tusenia...

$(\frac{2^{3}}{5})^{\frac{2x+1}{x-1}} =$

gadgetka · 16. 10. 2013 12:15

$2^{2\sqrt{x+1}}=2^6\cdot 2^{\sqrt{x+1}}$

základy jsou stejné, teď už jen pracujeme s exponenty:
$2\sqrt{x+1}=6+\sqrt{x+1} |^2$
$4(x+1)=36+12\sqrt{x+1}+x+1$
$4x+4-x-37=12\sqrt{x+1}$
$3x-33=12\sqrt{x+1}$
$x-11=4\sqrt{x+1} |^2$
$x^2-22x+121=16(x+1)$
$x^2-22x-16x+121-16=0$
$x^2-38x+105=0$

Dopočítej, udělej zkoušku a nezapomeň na podmínky. :)

gadgetka · 16. 10. 2013 12:20

$$\frac{8}{5}$^{\frac{2x+1}{x-1}}=$\frac{125}{512}$^{3-x}$
$$\frac{8}{5}$^{\frac{2x+1}{x-1}}=$\frac{5^3}{8^3}$^{3-x}$
$$\frac{8}{5}$^{\frac{2x+1}{x-1}}=$\frac{5}{8}$^{3(3-x)}$
$$\frac{8}{5}$^{\frac{2x+1}{x-1}}=$\frac{8}{5}$^{-3(3-x)}$

Dál pracuj už jen s exponenty...nezapomeň na podmínky řešitelnosti.

ivanya · 16. 10. 2013 13:13

Prvy priklad.

$x_{1}=35$
$x_{2}=3$

Podmienky: odmocnina nesmie byt zaporna, takze $x+1\not =0$ cize $x\not =-1$
$x\in (-1;\infty )$
Skuska spravnosti vylucila, ze x=3, takze jedinym riesenim je x=35.

ivanya · 16. 10. 2013 13:58

↑ gadgetka:↑ gadgetka:

$\frac{2x+1}{x-1}=-3(3-x)$
$\frac{2x+1}{x-1}=-9+3x$
$2x+1=(-9+3x)(x-1)$
$2x+1=(-9x+9+3x^{2}-3x)$
$2x+1=3x^{2}-12x+9$

Ako s tym dalej? Najradsej by som tu 3 vynala pred zatvorku ale potom neviem co s nou dalej.
A ked ju nevyberiem a pravu stranu prevediem na lavu tak
$-3x^{2}+14x-8=0$
Co je evidetne zle...

ivanya · 16. 10. 2013 14:04

↑ gadgetka:

Podla akeho kluca rozlozim
$125=5^{3}$
$512=8^{3}$
?

Cheop · 16. 10. 2013 14:34

↑ ivanya:
Rozložit na součin prvočísel a pak to dát dohromady.

gadgetka · 16. 10. 2013 15:03

ivanya napsal(a):
Prvy priklad.

$x_{1}=35$
$x_{2}=3$

Podmienky: odmocnina nesmie byt zaporna, takze $x+1\not =0$ cize $x\not =-1$
$x\in (-1;\infty )$
Skuska spravnosti vylucila, ze x=3, takze jedinym riesenim je x=35.

Množinu řešitelnosti nemáš dobře, správný zápis má být $x+1\ge 0\enspace \Rightarrow x\in \langle -1; \infty)$

A proveď zkoušku. Jeden kořen ti vypadne.

gadgetka · 16. 10. 2013 15:04

ivanya napsal(a):
↑ gadgetka:↑ gadgetka:

$\frac{2x+1}{x-1}=-3(3-x)$
$\frac{2x+1}{x-1}=-9+3x$
$2x+1=(-9+3x)(x-1)$
$2x+1=(-9x+9+3x^{2}-3x)$
$2x+1=3x^{2}-12x+9$

Ako s tym dalej? Najradsej by som tu 3 vynala pred zatvorku ale potom neviem co s nou dalej.
A ked ju nevyberiem a pravu stranu prevediem na lavu tak
$-3x^{2}+14x-8=0$
Co je evidetne zle...

Vše převeď na jednu stranu, dostaneš kvadratickou rovnici, kterou vyřešíš.

gadgetka · 16. 10. 2013 15:11

ivanya napsal(a):
↑ gadgetka:

Podla akeho kluca rozlozim
$125=5^{3}$
$512=8^{3}$
?

U exponenciálních rovnic je potřeba najít společný základ. A když je na jedné straně 8/5 a na druhé straně je 125, což je $5\cdot 5\cdot 5$ , tak se přímo nabízí zjistit, jestli 512 není $8\cdot 8\cdot 8$ Pokud by to nesedělo s osmičkou (což tady sedí), tak se číslo rozloží na další součin prvočísel (např. $8=2^3$ ) a zkouší se jiné řešení.

Honzc · 17. 10. 2013 07:11

↑ gadgetka:
Zdravím (k příspěvku #4)
jenom taková poznámka, nevím proč to dvakrát umocňuješ (a pak musíš vylučovat nevyhovující řešení), když paltí: 2 brambory - 1 brambor = 1 brambor

ivanya · 17. 10. 2013 10:11

Honzc napsal(a):
↑ gadgetka:
Zdravím (k příspěvku #4)
jenom taková poznámka, nevím proč to dvakrát umocňuješ (a pak musíš vylučovat nevyhovující řešení), když paltí: 2 brambory - 1 brambor = 1 brambor

:) Fakt.
Nevadi aspon som sa naucila vyriesit korene kvadratickej rovnice, takze zbytocne to nebolo :)

gadgetka · 17. 10. 2013 10:15

Honzc napsal(a):
↑ gadgetka:
Zdravím (k příspěvku #4)
jenom taková poznámka, nevím proč to dvakrát umocňuješ (a pak musíš vylučovat nevyhovující řešení), když paltí: 2 brambory - 1 brambor = 1 brambor

Díky za upozornění. V zajetí odmocnin jsem si toho nevšimla. Stane se... ;) Lepší oči má vždy ten, co kontroluje... ;)

ivanya · 17. 10. 2013 10:39 — Editoval ivanya (17. 10. 2013 10:45)

↑ gadgetka:

Druhy priklad

Riesenie:
$x_{1}=4$
$x_{2}=\frac{2}{3}$

Pri skuske spravnosti vislo, ze obidve su spravne.
Podmienky:
Mocnina sa nesmie rovnat 0, takze:
$x\not =1$
$x\not =3$
$x\in (-\infty ;1)\cap (1;3) \cap (3;\infty )$

gadgetka · 17. 10. 2013 11:18

Výsledky správně, podmínky špatně. Jedinou podmínkou je to, že výraz ve jmenovateli se nesmí rovnat nule.

ivanya · 17. 10. 2013 11:28

gadgetka napsal(a):
Výsledky správně, podmínky špatně. Jedinou podmínkou je to, že výraz ve jmenovateli se nesmí rovnat nule.

$x\in R -\{1\}$

Rumburak · 17. 10. 2013 11:57

Ahoj.
Rovnici

(1) $4^{\sqrt{x+1}}=64\cdot 2^{\sqrt{x+1}}$

je výhodné řešit substitucí $2^{\sqrt{x+1}}=y$ . Pak totiž bude $4^{\sqrt{x+1}}= y^2$ a dosazením do (1) máme

$y^2 = 64y$

s kořeny $y_1 = 0$ , $y_2 = 64$ . Návratem k neznámé $x$ dostáváme rovnice $2^{\sqrt{x+1}}=0$ resp. $2^{\sqrt{x+1}}=64$ ,
z nichž první nemá řešení a jak vyřešit druhou je snad zřejmé :