Matematické Fórum

santic · 18. 01. 2009 19:40

Zdravim, mel bych dotaz na reseni jednoho zkouskoveho prikladu... Absolutne nevim jak na nej jit...

Zneni je asi takove:
V pytliku mame 6 kulicek, 2 cerne a 4 bile. Pri prvnim tahu vytahneme kulicku, napiseme si jeji barvu na papirek a kulicku vratime zpet do pytliku. Pri dalsich tazich vzdy vytahneme kulicku, koukneme jakou ma barvu a pokud se neshoduje s barvou napsanou na papirku, tak ji vratime zpet do pytliku a tahame znovu. Jaky je prumerny pocet vytahnuti nez vytahneme kulicku s barvou shodnou s tou na papirku?

Dekuji vsem za jakoukoli k necemu smerujici radu

Vim, ze se zde vzdy hodi napsat aspon nejake zacinajici vypocty, ale v tomto pripade ani nevim s cim mam zacit :(

Kondr · 18. 01. 2009 20:21

Tahy očísluji od 0, aby vycházely hezčí indexy. Řekněme, že jsme v nultém tahu vytáhli černou, zapsali její brvu na papírek. Pravděpodobnost, že v následujících i-1 tazích vytáhneme bílou s pravděpodobností 2/3 a v i-tém tahu vytáhneme opět černou (s pravděpodobností 1/3)je $\left(\frac23\right)^{i-1}\cdot \frac13$ . Střední hodnota počtu tahů je v tomto případě
$E_1=\sum_{i=1}^{\infty}\left(\frac23\right)^{i-1}\cdot \frac13 i$ .
Tuto střední hodnotu lze také vyjádřit z rovnice
E_1=1/3+2/3*(E+1), E_1=3

Analogicky pokud jsme začali vytažením bílé, dostáváme pro střední hodnotu E_2 rovnici E_2=2/3+1/3(E+1), E=3/2.

Přitom černou začneme s pravděpodobností 1/3 a bílou s pravděpodobností 2/3, střední počet tahů je proto 1/3*E_1+2/3*E_2=2. Protože jsem tahy čísloval od 0, není do toho započten ten před zapsáním barvy na papírek.

EDIT: vzoreček pro tu střední hodnotu je i na Wiki: http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_distribution

santic · 18. 01. 2009 20:37

↑ Kondr:

Diky moc, ted to jeste nejak pochopit :) Myslim, ze by ale nemel byt problem

Matematické Fórum

#1 18. 01. 2009 19:40

Teoreticky nekonecna posloupnost

#2 18. 01. 2009 20:21

Re: Teoreticky nekonecna posloupnost

#3 18. 01. 2009 20:37

Re: Teoreticky nekonecna posloupnost

Zápatí