Matematické Fórum

Hertas · 16. 10. 2013 20:43

ahoj, mám určit maximální množinu, na které funkční posloupnost stejnoměrně konverguje
$f_{n}(x)=\frac{nx}{1+n+x}$
když počítám bodovou konvergenci, vyjde mi $\lim_{n\to+\infty }\frac{nx}{1+n+x}=x$
$\sup_{x\in \mathbb{R}}|\frac{nx}{1+n+x}-x|=\sup_{x\in \mathbb{R}}|\frac{-x-x^2}{1+n+x}|$
funkci zderivuji, položím rovnu 0 a vyjdou mi $x_{0}=-1-n\pm \sqrt{n(n+1)}$ když dosadím za x tak limity suprema mi vycházejí $+\infty$
z toho bych usuzoval, že posloupnost nekonverguje, ale podle výsledků to tak není, nakopnete mě někdo ke správnýmu postupu? Díky moc :)

Rumburak · 17. 10. 2013 09:10

↑ Hertas:

Ahoj.

Podobná úloha s toutéž posloupností funkcí se řešila zde ,
snad to k inspiraci postačí.

Hertas · 17. 10. 2013 16:28

to je právě ten problém, já mám najít maximální množinu, na který mi posloupnost stejnoměrně konverguje, v příkladu, na který odkazuješ je zadaná množina a ověřuje se st. konvergence
v mém případě je tak zhruba nespočetně bodů (x=-1-n) kde funkce není definovaná a já nevím jestli to je nebo není problém, dál jestli teda dobře koukám tak funkce není shora omezená takže úplně nevím co s tím

Rumburak · 17. 10. 2013 17:08

↑ Hertas:

1) Limitní funkci máš správně.

2) Ukáž sporem, že systém $S$ všech podmnožin v $\mathbb{R}$ , na nichž posloupnost těch funkcí konverguje stejnoměrně,
NEMÁ maximální prvek.

Návod: