Matematické Fórum

šidlo · 18. 10. 2013 07:21 — Editoval šidlo (18. 10. 2013 07:24)

Prosím poradit s postupem, i když přes kalkulačku vím výsledek, chci to pochopit.
$\lim_{n\to\infty }(\frac{3n+5}{3n-1})^{4n+3}=e^{8}$

Rumburak · 18. 10. 2013 09:24

↑ šidlo:

Výraz $$\frac{3n+5}{3n-1}$^{4n+3}$ je potřeba upravit tak, aby se při výpočtu limity z něj dal (po vhodné substituci)
použít známý vzorec

$\lim_{k\to+\infty }$1 + \frac{a}{k}$^{k}= \mathrm{e}^{a}$ .

šidlo · 18. 10. 2013 13:15 — Editoval šidlo (18. 10. 2013 13:56)

↑ Rumburak:
$\lim_{n\to\infty }(\frac{3n-1+6}{3n-1})^{4n+3}=\lim_{n\to\infty }(1+\frac{6}{3n-1})^{4n+3}$
substituce $\frac{6}{3n-1}=a$
$n=\frac{6+a}{3a}$
Nevím, jak dál Dosadila jsem, ale nevyšlo mi to.
$\lim_{n\to\infty }(1+\frac{6}{3n-1})^{\frac{8}{a}+\frac{13}{3}}$

Hertas · 18. 10. 2013 14:21 — Editoval Hertas (18. 10. 2013 14:22)

$(\frac{3n+5}{3n-1})^{4n+3}=(1+\frac{6}{3n-1})^{4n+3}=$
$(1+\frac{6}{3n-1})^{3n-1+n+4}=(1+\frac{6}{3n-1})^{3n-1}((1+\frac{6}{3n-1})^{3n-1+13})^{-3}=$
$(1+\frac{6}{3n-1})^{3n-1}((1+\frac{6}{3n-1})^{3n-1})^{-3}((1+\frac{6}{3n-1})^{13})^{-3})$

jestli tam nemám chybu mělo by to bejt takhle, poslední závorka jde k nule
takže máš e^6*e^2

Hertas · 18. 10. 2013 14:29 — Editoval Hertas (18. 10. 2013 14:37)

jinak ve tvým postupu máš chybu už v substituci, nedosadila si a do závorky za 6/(3n-1), a potom bys to musela dostat do tvaru (1+a)^(1/a)

Rumburak

↑ šidlo:

$$\frac{3n+5}{3n-1}$^{4n+3} = $1 + \frac{6}{3n-1}$^{4n+3} = $1 + \frac{6}{3n-1}$^{\frac{4}{3} $3n+\frac{9}{4}$} =\\= $1 + \frac{6}{3n-1}$^{\frac{4}{3} $3n-1+\frac{13}{4}$} = \[$1 + \frac{6}{3n-1}$^{3n-1}\]^{\frac{4}{3}} $1 + \frac{6}{3n-1}$^{\frac{13}{3}}$ .

Z toho limita při $n \to +\infty$ (tj. $(3n-1) \to +\infty$ ) bude $$\mathrm{e}^6$^{\frac{4}{3}}\cdot $1+0$^{\frac{13}{3}} = \mathrm{e}^8$ .