Matematické Fórum

ExSh00t

Ahoj, viete mi poradit s touto limitou?
$\lim_{x->0}\frac{e^{\sin x}- \cos x}{\ln({x+1})}$

Myslim, ze by sa mal pouzit vzorec
$\lim_{x->0}\frac{{\ln({x+1})}}{x}=1$
takze by som postupoval, ze upravim nejak citatel, aby mi tam zostalo x, alebo nieco podobne a potom to bude len obrateny zlomok cize stale 1. Ale nemam sajnu ako ho upravit.
Skusim este kedtak L Hospitala
EDIT: skrz L Hospitala vysla 1

jelena · 19. 10. 2013 10:16

Zdravím,

včera jsem se na zadání dívala, zda někdo z kolegů nenavrhne něco použitelného, můj návrh (budu psát jen úpravy):

$\frac{e^{\sin x}- \cos x}{\ln({x+1})}=\frac{e^{\sin x}-1+1- \cos x}{\ln({x+1})}$ , rozdělím na součet limit:

(1) $\frac{e^{\sin x}-1}{\ln({x+1})}$ a (2) $\frac{1- \cos x}{\ln({x+1})}$ .

(2) je jasná: $\frac{(1- \cos x)(1+\cos x)\cdot x^2}{x^2\cdot (1+\cos x)\cdot \ln({x+1})}$ půjde k 0.
(1) $\frac{(e^{\sin x}-1)x}{x\cdot \ln({x+1})}$ a zde bych potřebovala nějak dostat, že na $\frac{(e^{\sin x}-1)}{x}$ platí stejný důsledek, jako vzorec 3 a to se mi nedaří. Tak snad celá úvaha není špatná, co kolegové? Děkuji.

vanok · 19. 10. 2013 10:36

Pozdravujem ↑ jelena:,
Jedna ( velmi elementarna) cesta je uviest do daneho vyrazu 3 casti ktore su definicie derivacie v bode 0... a potom je to ozaj hracka.

jelena · 19. 10. 2013 10:38

↑ vanok:

Zdravím a děkuji, ale nešlo by to bez derivace? Potom by se používal i l´Hospital, ale pokud by šlo důkazem a úpravou, tak by to potěšilo :-)

jarrro · 19. 10. 2013 10:45 — Editoval jarrro (19. 10. 2013 10:47)

$\frac{e^{\sin x}-1}{\ln({x+1})}=\frac{x}{\ln{$x+1$}}\cdot\frac{\sin{x}}{x}\cdot\frac{\mathrm{e}^{\sin{x}}-1}{\sin{x}}$

jelena · 19. 10. 2013 10:56

↑ jarrro:

moc děkuji, tedy v (1) mi chybělo jen rozšířit sin(x)? Ach jo :-)

vanok · 19. 10. 2013 10:57 — Editoval vanok (19. 10. 2013 11:06)

Zda sa mi, ze casto ta limita o ktorej pisem je ( skryto ) pouzita, bez toho aby sa o nej hovorilo. Aj ked podobne myslienky su pouzite v dokaze Hôpital-ovej vety, je to prirodzenejsie a lahko vysvelitelne pre studenta.
poznamka: ide o tieto vyrazy
$\frac{e^{\sin x}- 1}x$
$\frac{ \cos x-1}x$
$\frac{\ln({x+1})-\ln(0+1)}x$
Ako sa to aj vidi v prispevku od Jarrro ( i ked rozlozil jednu zlozenu funkciu na dve casti, no vsak to nemeni nic na mojej poznamke)

Edit
Pochopitelne sa da pouzit, aj metoda ekuivalentov, no vsak tato metoda nie je v cz a Sk pouzivana ( ale koho to zaujima moze si precitat o nej tu na fore, kde som ju v minulosti dostatocne popisal)

jarrro · 19. 10. 2013 11:20

že je $\lim_{x\to 0}{\frac{\ln{$x+1$}}{x}}=1$ vidno priamo z vlastnosti a spojitosti logaritmu, lebo
$\frac{\ln{$x+1$}}{x}=\ln{$\(1+x$^{\frac{1}{x}}\)}$
pričom
$\lim_{x\to 0}{$1+x$^{\frac{1}{x}}}=\mathrm{e}$

vanok · 19. 10. 2013 11:35 — Editoval vanok (19. 10. 2013 11:36)

Ahoj ↑ jarrro:,
To neznamena ze z casu na cas nie je nejaka ina metoda, ale zapis $\lim_{x\to 0}{\frac{\ln{$x+1$}}{x}}=1$
nie je nic ine ako definicia derivacii tejto funkcie v bode 0.
( a je pochopitelne vela ciest co vendu k jeho vypoctu...)
A dost casto, uzitocny trik na elementarne hladanie urcitych limit ide cez tuto obkluku.

jarrro · 19. 10. 2013 12:08

↑ vanok:ja predsa nikde nepíšem, že nemáš pravdu len ukazujem, že sa dá tá limita zistiť aj keď človek ešte nepočul o deriváciách prípadne práve tú deriváciu chce odvodiť

vanok · 19. 10. 2013 12:15

↑ jarrro:,
Ano, ale vsak to je vyhoda dialogu, ze si napiseme co sa nam zda uzitocne.
Inac, aspon dufam, ze ta moja poznamka pomoze aspon jednemu cloveku ako upravit vyraz v limite na nieco jednoduchsie alebo znamejsie.

Matematické Fórum

#1 18. 10. 2013 12:35 — Editoval ExSh00t (18. 10. 2013 12:44)

Limita funkcie

#2 19. 10. 2013 10:16

Re: Limita funkcie

#3 19. 10. 2013 10:36

Re: Limita funkcie

#4 19. 10. 2013 10:38

Re: Limita funkcie

#5 19. 10. 2013 10:45 — Editoval jarrro (19. 10. 2013 10:47)

Re: Limita funkcie

#6 19. 10. 2013 10:56

Re: Limita funkcie

#7 19. 10. 2013 10:57 — Editoval vanok (19. 10. 2013 11:06)

Re: Limita funkcie

#8 19. 10. 2013 11:20

Re: Limita funkcie

#9 19. 10. 2013 11:35 — Editoval vanok (19. 10. 2013 11:36)

Re: Limita funkcie

#10 19. 10. 2013 12:08

Re: Limita funkcie

#11 19. 10. 2013 12:15

Re: Limita funkcie

Zápatí