Matematické Fórum

MightyPork · 19. 10. 2013 18:10

Dobrý den,

řeším domácí úkol na algebru a zasekl jsem se na tomto cvičení:

Nechť L je lineární prostor a nechť $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ a $\overrightarrow{c}$ jsou vektory z L.

Utvořme vektory $\overrightarrow{d} = 2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$ , $\overrightarrow{e} = \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ , $\overrightarrow{f} = \overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$ .

Dokažte: Pokud jsou vektory $\overrightarrow{d}$ , $\overrightarrow{e}$ $\overrightarrow{f}$ lineárně nezávislé, pak jsou i $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ $\overrightarrow{c}$ lineárně nezávislé.

Prosím o nakopnutí správným směrem.. Díky.

vanok · 19. 10. 2013 18:23

Ahoj ↑ MightyPork:,
To plati aj pre teba:pouzi GEM.

Brano · 19. 10. 2013 18:24

v podstate ide o to, ze musis dokazat, ze vektory
$(2,1,-1);\ (1,-1,1);\ (1,0,1)$ su linearne nezavisle alebo inymi slovami, ze matica
$\begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 1\\ 1& 0 & 1\end{pmatrix}$
je regularna, t.j. inveribilna

MightyPork · 19. 10. 2013 18:29

↑ Brano:

Ok, to umím - ale v úkolu se požaduje vysvětlení, proč to platí?

K úkolu ještě patří dodatek:

Pozn.: Rozhodně nelze svévolně koeficienty lineární kombinace ”nasypat” do matice, upravit GEM a udělat
závěr!!!

MightyPork · 19. 10. 2013 18:47

Prosím, víte někdo, proč to platí?

Brano · 19. 10. 2013 19:39 — Editoval Brano (20. 10. 2013 13:40)

↑ MightyPork:

EDIT: teraz by to uz malo byt OK

Nech $A$ je regularna $n\times n$ matica s prvkami $A_{ij}$ a uvazujeme dve sady po $n$ vektoroch
$\{\vec{v_i}\}$ a $\{A_{ij}\vec{v_j}\}$ (pouzivam einsteinovu sumacnu konvenciu):

Ak $\{A_{ij}\vec{v_j}\}$ su LZ, potom $p_i (A_{ij}\vec{v_j})=\vec{0}$ kde aspon jedno $p_i$ je nenulove, ale to sa da prepisat aj takto $(p_i A_{ij})\vec{v_j}=\vec{0}$ a aspon jedno z cisel $p_i A_{ij}$ musi byt nenulove, lebo $A$ je regularna, teda $\{\vec{v_j}\}$ su LZ.

Naopak sa to dokaze, tak isto, ked si uvedomime, ze $\vec{v_k}=(A^{-1})_{ki}A_{ij}\vec{v_j}$ .

A teda spolu mame, ze $\{A_{ij}\vec{v_j}\}$ su LZ prave vtedy ked $\{\vec{v_i}\}$ su LZ; co je to iste ako tvrdit, ze $\{A_{ij}\vec{v_j}\}$ su LN prave vtedy ked $\{\vec{v_i}\}$ su LN.

jarrro · 19. 10. 2013 19:43

nech
$\frac{\alpha-\gamma}{3}$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$+$\frac{\alpha-\gamma}{3}-\beta$$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$+$\beta+\gamma$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$=\alpha\overrightarrow{a}+\beta\overrightarrow{b}+\gamma\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$
potom podľa predpokladu
$\frac{\alpha-\gamma}{3}=0\nl\frac{\alpha-\gamma}{3}-\beta=0\nl \beta+\gamma=0$
teda
$\alpha=\beta=\gamma=0$

Matematické Fórum

#1 19. 10. 2013 18:10

Důkaz, že pokud kombinace je LN, pak vektory jsou LN

#2 19. 10. 2013 18:23

Re: Důkaz, že pokud kombinace je LN, pak vektory jsou LN

#3 19. 10. 2013 18:24

Re: Důkaz, že pokud kombinace je LN, pak vektory jsou LN

#4 19. 10. 2013 18:29

Re: Důkaz, že pokud kombinace je LN, pak vektory jsou LN

#5 19. 10. 2013 18:47

Re: Důkaz, že pokud kombinace je LN, pak vektory jsou LN

#6 19. 10. 2013 19:39 — Editoval Brano (20. 10. 2013 13:40)

Re: Důkaz, že pokud kombinace je LN, pak vektory jsou LN

#7 19. 10. 2013 19:43

Re: Důkaz, že pokud kombinace je LN, pak vektory jsou LN

Zápatí