Matematické Fórum

TerezaG · 19. 10. 2013 20:05

Zdravím všechny, potřebuji poradit..
Nemůžu přijít na princip řešení příkladů typu :

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}$

Moc děkuji :)

Jj · 19. 10. 2013 20:14

↑ TerezaG:

Dobrý večer,
zkuste podílové kritérium.

TerezaG · 19. 10. 2013 20:32

↑ Jj:
Zkoušela jsem, vychází podivně, ale napíšu to :) $\frac{\frac{(2n+1)!}{2^{n}(n+1!)^2}}{\frac{(2n)!}{2^{n}(n!)^2}}$ toto upravím:
$\frac{(2n+1)! 2^{n}(n!)}{2^{(n+1)}(n+1!)^2}$ teď ale nevím, co, kde a jak vytknout, aby z toho vyšla nějaká schopná limita :)

Jj · 19. 10. 2013 21:10 — Editoval Jj (19. 10. 2013 21:12)

↑ TerezaG:

Myslím, že by to mělo být:

$\frac{\frac{(2(n+1))!}{2^{n+1}(n+1)!^2}}{\frac{(2n)!}{2^{n}(n!)^2}}=\frac{(2(n+1))!2^n(n!)^2}{2^{n+1}(n+1)!^2(2n!)}=\frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{2(n+1)^2(2n)!}=$
$=\frac{(2n+2)(2n+1)}{2(n+1)^2}=\frac{n^2\cdot 2(1+1/n)(2+1/n)}{n^2\cdot 2(1+1/n)^2}\Rightarrow$
$\lim_{n \to \infty}\frac{n^2\cdot 2(1+1/n)(2+1/n)}{n^2\cdot 2(1+1/n)^2}=\lim_{n \to \infty}\frac{(1+1/n)(2+1/n)}{(1+1/n)^2}=2$

Ale zkontrolujte mne.

Jinak - pokud má posloupnost kladne členy a neplatí $\lim_{n \to \infty}a_n = 0$ tak je její součet určitě divergentní. V tomto případě bych limitu zřejmě neuměl spočítat.

TerezaG · 19. 10. 2013 21:32

↑ Jj:
Výsledek je správně, princip chápu, ale netuším, co se stalo za druhým = :( můžete to prosím rozepsat ?

Děkuji

Jj · 19. 10. 2013 22:20

↑ TerezaG:

$=\frac{(2(n+1))!}{(2n)!}\cdot \frac{2^n}{2^{n+1}}\cdot \frac{(n!)^2}{(n+1)!^2}=\frac{(2n+2)!}{(2n)!}\cdot \frac{2^n}{2^{n+1}}\cdot \frac{(n!)^2}{(n+1)^2n!^2}=$

$\frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(2n)!}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(n+1)^2}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{1}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(n+1)^2}=\cdots$

TerezaG · 19. 10. 2013 22:23

↑ Jj:
Už chápu, moc moc děkuji, problém byl v mocnině u faktoriálu :)

Matematické Fórum

#1 19. 10. 2013 20:05

Konvergence/divergence řady

#2 19. 10. 2013 20:14

Re: Konvergence/divergence řady

#3 19. 10. 2013 20:32

Re: Konvergence/divergence řady

#4 19. 10. 2013 21:10 — Editoval Jj (19. 10. 2013 21:12)

Re: Konvergence/divergence řady

#5 19. 10. 2013 21:32

Re: Konvergence/divergence řady

#6 19. 10. 2013 22:20

Re: Konvergence/divergence řady

#7 19. 10. 2013 22:23

Re: Konvergence/divergence řady

Zápatí