Matematické Fórum

M0M0 · 19. 10. 2013 20:19 — Editoval M0M0 (19. 10. 2013 20:21)

Zdravim, mal by som sa pokusit dokazat ze pan Charmichael bol sikovnejsi ako pan Euler a teda vysledky jeho funkcie delia Eulerove...prve dve pravidla funkcii su jasne ale neviem ako pokracovat..any hints?

kompik · 20. 10. 2013 03:59

↑ M0M0:
Carmichaelova funkcia priradí číslu n najmenšie kladné celé číslo m také, že $a^m\equiv 1 \pmod n$ pre každé celé číslo a.

Ak $\lambda(n)$ označíme najmenšie kladné celé s danou vlastnosťou, tak aj každé číslo tvaru $m=k\lambda(n)$ má takúto vlastnosť.
Navyše sa dá ukázať, že násobky $\lambda(n)$ sú jediné čísla s takou vlastnosťou.
Ak totiž platí $a^m\equiv 1 \pmod n$ a m zapíšme (podľa vety o delení so zvyškom) ako $m=q\lambda(n)+r$ , tak máme $a^r \equiv a^{q\lambda(n)+r}\equiv a^m\equiv 1 \pmod n$ .
O zvyšku r vieme, že $0\le r<\lambda(n)$ . Ak by platilo $r\ne0$ , tak by to bol spor s minimalitou čísla $\lambda(n)$ . (Číslo r je menšie ako $\lambda(n)$ , a má danú vlastnosť.)