Matematické Fórum

klaudia · 19. 10. 2013 22:39

Ahojte, nepomôžete mi s takýto zadaním:

Dokažte, že v úplných metrických prostorech prekompaktní a relativně kompaktní množiny splývají.

Ďakujem.

kompik · 20. 10. 2013 03:35

↑ klaudia:
Asi by bolo dobre zadefinovať tieto pojmy. Možno sa mýlim, ale myslím, že sa aspoň v niektorých kontextoch používajú ako synonymá.
Napríklad na Wikipedii sa píše:
Precompact set may refer to:
* Relatively compact subspace, a subset whose closure is compact
*Totally bounded set, a subset that can be covered by finitely many subsets of fixed size
http://en.wikipedia.org/wiki/Precompact_set

klaudia · 20. 10. 2013 10:48

↑ kompik:

To som našla tiež, ale ako to dokážem matematicky, nemôžem sa odvolať nato, že sú to synonymá...
Nejaké matematické odvodenie nato neexistuje?

kompik · 20. 10. 2013 10:52

klaudia napsal(a):
↑ kompik:

To som našla tiež, ale ako to dokážem matematicky, nemôžem sa odvolať nato, že sú to synonymá...
Nejaké matematické odvodenie nato neexistuje?

Aby malo zmysel hovoriť o matematickom odvodení, treba najprv vedieť definície pojmov, s ktorými pracujeme.

Takže by pomohlo pozrieť sa do poznámok alebo skrípt, podľa ktorých idete a povedať nám ostatným, čo chápete pod prekompaktnou a relatívne kompaktnou množinou.

kompik · 20. 10. 2013 11:04

Ak je cieľom ukázať to že v úplnom metrickom piestore platí:
Podmnožina A je totálne ohraničená <=> A má kompaktný uzáver,
tak by som si skúsil pomôcť tým, že vieme:

* Metrický priestor je kompaktný práve vtedy, keď je úplný a totálne ohraničený.

$\Rightarrow$ Tu by som skúsil ukázať, že ak A je totálne ohraničená množina, tak aj $\overline A$ je totálne ohraničená množina. Potom $\overline A$ je úplný priestor (lebo je uzavretý podpriestor úplného priestoru). Súčasne je totálne ohraničený. Teda je to kompaktný podpriestor.

$\Leftarrow$ Keďže $\overline A$ je kompaktný priestor, tak je aj totálne ohraničený. Stačí zdôvodniť, že podmnožina totálne ohraničenej množiny je totálne ohraničená.

klaudia · 20. 10. 2013 11:34

↑ kompik:

Cieľom bolo dokázať, že RELATÍVNE KOMPAKTNÁ MNOŽINA $\equiv$ PREKOMPAKTÁ (TOTÁLNE OHRANIČENÁ) MNOŽINA

Def. Hovoríme, že M je RELATÍVNE KOMPAKTNÁ MNOŽINA, ak $\overline{M}$ je kompaktná množina (tj. z každej postupnosti prvkov množiny M je možné vybrať konvergentnú postupnosť).

$\Rightarrow$ Každá konvergentná postupnosť je cauchyovská postupnosť.

$\Rightarrow$ Ak z každej postupnosti prvkov množiny M možno vybrať cauchyovskú postupnosť, potom M je TOTÁLNE OHRANIČENÁ MNOŽINA.

$\Rightarrow$ TOTÁLNE OHRANIČENÁ $\equiv$ PREKOMPAKTÁ

Teda: RELATÍVNE KOMPAKTNÁ MNOŽINA $\equiv$ PREKOMPAKTÁ

Mohlo by to byť takto?

kompik · 20. 10. 2013 12:50

↑ klaudia:
Z toho, čo si napísala, sa dá domyslieť, že vaša definícia totálne ohraničenej množiny je: Z každej postupnosti sa dá vybrať cauchyovská podpostupnosť.

Dôkaz implikácie $\Rightarrow$ vyzerá byť ok: Z postupnosti vyberieme konvergentnú podpostupnosť. (Táto podpostupnosť konverguje v $\overline M$ , limita nemusí byť prvok množiny M. Ale to nemení nič na tom, že postupnosť bude cauchyovská - táto vlastnosť nezávisí od toho, či sa na postupnosť pozeráme v M alebo v uzávere.)

Ešte by bolo treba nejako zdôvodniť opačnú implikáciu $\Leftarrow$ . T.j. ak množina M je totálne ohraničená, tak jej uzáver $\overline M$ je kompaktná množina.

Ak by som to robil cez postupnosti, tak prvá možnosť, ktorá mi prišla na um je takáto:
* Máme ľubovoľnú postupnosť $(x_n)$ v $\overline M$ .
* Zoberieme si postupnosť prvok z M takú, že $|x_n-y_n|\le\frac1n$ . (To sa dá - stačí si spomenúť na definíciu uzáveru.)
* Z nej sa dá vybrať cauchyovská podpostupnosť $(y_{n_k})$ .
* Potom aj $(x_{n_k})$ je cauchyovská. Keďže $\overline M$ je úplný priestor, bude táto postupnosť aj konvergentná.