Matematické Fórum

Tomas5 · 19. 10. 2013 23:43

Dobrý den, nevím si rady s touto limitou:

$\lim_{[x,y]\to[0,0]}{\frac{2-\cos x-\cos y}{x^2+y^2}}$

Stále mi vychází špatný výsledek 1/2, správně má vyjít, že limita neexistuje.

Prosím o vysvětlení této části příkladu. Děkuji.

Jozef3 · 20. 10. 2013 09:02

↑ Tomas5:
Ta limita vskutku neexistuje. Zkuste ji nejprve spočítat pro y=x a poté pro y=x^2. Obdržíte 2 různé výsledky, čímž dokážete, že limita neexistuje.

Tomas5 · 20. 10. 2013 11:16

↑ Jozef3:
Ahoj, pro $\text{y=x}$ je $\lim_{x\to0}\frac{2-2\space\cos(x)}{2x^2}$

$=\frac{2}{2}\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$

a pro $y=x^{2}$ je $\lim_{x\to0}\frac{2-cos{x}-cos({x^{2}})}{x^2+x^4}$ $=\lim_{x\to0}\frac{2-cos{x}-cos({x^{2}})}{x^2(1+x^2)}$

$=\lim_{x\to0}\frac{2-cos{x}-cos({x^{2}})}{x^2(1+x^2)}$ $\lim_{x\to0}\frac{1-cos(x)}{x^2(1+x^2)}+\frac{1-cos(x^{2})}{x^2(1+x^2)}$
$\lim_{x\to0}\frac{1-cos(x)}{x^2(1+x^2)}=\frac{1}{2}$

$... \frac{1}{2} + \lim_{x\to0}\frac{1-cos(x^2)}{x^2(1+x^2)}=\frac{1}{2}$

$\lim_{x\to0}\frac{1-cos(x^2)}{x^2(1+x^2)}=\lim_{x\to0}\frac{1-cos(x^2)}{x^2}$

substituce $x^{2}=k$ na prstencovém okolí nuly $x^2\sim y$ a $x\to 0$ $y\to 0$

$\lim_{k \to0}\frac{1-\cos (k)}{k}=0$

Proto se obě limity rovnají $1/2$ a limita může existovat. Problém je, že nemůžu najít vhodnou substituci, která dává různé limity.

Jozef3 · 20. 10. 2013 12:04

↑ Tomas5:
Omlouvám se, pane kolego, máte pravdu. Pro y=x^2 ta limita skutečně vyjde 1/2. Kde jste však přišel na to, že limita neexistuje? Pokud byste měl pravdu, že neexistuje, bylo by to celkem vážné zjištění. Tato limita je totiž příklad 331 v knize L. Zajíček: Vybrané úlohy z matematické analýzy, kde je ve výsledcích uvedeno, že daná limita je 1/2. Navíc, také se mi nepodařilo najít směr, kde by ta limita nevycházela 1/2. Tak zkuste naopak dokázat, že ta limita je 1/2. Pokud naopak dokážete, že ta limita není 1/2, tak napište kol. Zajíčkovi, ať to ve svém příští vydání opraví.

Tomas5 · 20. 10. 2013 14:07

↑ Jozef3:
Nevím, jak to má vyjít, ale používám Wolfram Alpha, ten tvrdí, že limita neexistuje, já tomu věřím, ale nevím jak to dokázat. Mně vychází limita 1/2.

Jozef3 · 20. 10. 2013 14:54

↑ Tomas5:
Věřte nebo ne, ta limita skutečně vychází 1/2. Račte po mně zkontrolovat:
Označme: $\lim_{[x,y]\to[0,0]}\frac{2-cos x-cos y}{x^{2}+y^{2}}=A$
Odhadneme, že A=1/2 a počítejme:
$|\frac{2-cosx-cosy}{x^{2}+y^{2}}-\frac{1}{2}|=|\frac{1-(1-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2}))-\frac{x^{2}}{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1-(1-\frac{y^{2}}{2}+o(y^{2}))-\frac{y^{2}}{2}}{x^{2}+y^{2}}|=...$
$...=|\frac{o(x^{2})+o(y^{2})}{x^{2}+y^{2}}|=|\frac{o(x^{2})}{x^{2}+y^{2}}+\frac{o(y^{2})}{x^{2}+y^{2}}|\le ...$
$...\le |\frac{o(x^{2})}{x^{2}+y^{2}}|+|\frac{o(y^{2})}{x^{2}+y^{2}}|\le |\frac{o(x^{2})}{x^{2}}|+|\frac{o(y^{2})}{y^{2}}|$
Přičemž poslední výraz jde z definice malého o k nule, takže skutečně A = 1/2. Kdyby Vás to zajímalo, tak první rovnost plyne z Taylorova rozvoje a první nerovnost plyne z trojúhelníkové nerovnosti.

Mimochodem, toto není jediná chyba, které se program WolframAlpha dopouští. Pozor na to, tento program není svatý a jeho chyby Vám občas mohou pěkně zavařit! Podobně jako v tomto případě.