Matematické Fórum

květinka fialová · 20. 10. 2013 17:06

Mám zadanou funkci
$y=\frac{5x-1}{6x+4}$

a k tomu mám najít inverzní funkci.Nás učili,že se má přehodit X za Y a řešit to jako klasickou rovnici kdy na jedné straně má zůstat X a na druhé zbytek
takže po uprave mi to zustalo tak

$-5y+1=\frac{-1}{X*(6y+4)}$

dál nevím co bych si mohl dovolit zda opět rovnici vynásobit tím co je ve jmenovateli mimo X a pak by mne zajimalo jak se zbavím toho zlomku -1/X

gadgetka · 20. 10. 2013 17:45

$y=\frac{5x-1}{6x+4}$
Musíš osamostatnit x:

$y(6x+4)=5x-1$
$6xy+4y=5x-1$
$6xy-5x=-4y-1$
$x(6y-5)=-(4y+1)$
$x=\frac{4y+1}{5-6y}$

$f^{-1}: y=\frac{4x+1}{5-6x}$

květinka fialová · 20. 10. 2013 18:01

tedkom ještě definiční obor a obor hodnot u té inverzní funkce
u té normální funkce by měl být Definiční obor $(-\infty,\frac{-1}{5} )\cup (\frac{4}{6},\infty )$ automaticky tohle bude obor hodnot u funkce inverzní,a definiční obor inverzní funkce zjistím a to bude zase obor hodnot te normlaní funkce že ? tudíž $(-\infty,\frac{1}{4} )\cup (\frac{5}{6},\infty )$

květinka fialová · 20. 10. 2013 18:42

No další funkce je
$Y=\frac{X-4}{X+4}$
po uprave
$y*(x+4)=x-4$
$yx+4=x-4$
$yx+8=x$
$8=x-xy$
$8=x*(1-y)$
$\frac{8}{1-y}=X$

Definiční obor normální funkce by měl být
$(-4,4)$

a obor hodnot
$(1,\infty )$

u inverzní je to samozřejmě opačně :)

květinka fialová · 20. 10. 2013 18:52

další funkce je
$Y=1+5x^7$

po uprave mi vzniklo
$\sqrt[7]{\frac{X-1}{5}}=y$

mám obavu zda je to inverzní funkce

Honzc · 21. 10. 2013 07:51

↑ květinka fialová:
$y=\sqrt[7]{\frac{x-1}{5}}$ je opravdu inverzní funkce k funkci $y=1+5x^7$
a její definiční obor i obor hodnot jsou všechna reálná čísla.

květinka fialová · 21. 10. 2013 14:10

a ty další funkce co jsem zde napsal jsou správné ?

květinka fialová · 21. 10. 2013 16:09

No poslední funkcí je $f(x)=log(\sqrt{1+5x^3}+1)$

inverzi bych začal tvořit tak že bych tam dal exponent tedy $exp^y=exp^{log(...)}$
exp a log by se mě vpravo vyrušili a měl bych jenom
$exp^y=(\sqrt{1+5x^3}+1)$ ? jo

gadgetka · 21. 10. 2013 16:31

Platí: $10^y = \sqrt{1+5x^3}+1$

květinka fialová · 21. 10. 2013 16:45

a tedkom dám na druhou a vznikne mi
$10^{2y}(-1)^2=1+5x^3$
$10^{2y}+1=1+5x^3$
$10^{2y}=5x^3$
$2^{2y}=x^3$
$x=\sqrt[3]{2^{2y}}$

což mi přijde jako blbost ne ?

Honzc · 22. 10. 2013 06:18

↑ květinka fialová:
Píšeš "což mi přijde jako blbost ne ?" Odpověď zní ano.
Správně:
$10^y = \sqrt{1+5x^3}+1$
$10^y-1 = \sqrt{1+5x^3}\\ (10^y-1)^{2} =1+5x^3\\ x=\sqrt[3]{\frac{(10^y-1)^{2}-1}{5}}$
a tedy
$f^{-1}(x):y=\sqrt[3]{\frac{(10^x-1)^{2}-1}{5}}$
Jaké máte označení pro logaritmy?
Dříve se učilo, že
$\log_{}x$ značil dekadický logaritmus a
$\ln x$ přirozený logaritmus.
Pokud tedy (dle tvého pokusu v příspěvku č.8) bych předpokládal že máš na mysli přirozený logaritmus.
Pak $f^{-1}(x):y=\sqrt[3]{\frac{(e^x-1)^{2}-1}{5}}$