Matematické Fórum

VojtechSejkora

Na wiki jsem si našel, jak se definuje limita posloupnosti

$\forall \varepsilon > 0: \exists n \in \mathbb{N} : \forall k \geq n : \left| a _k - A \right| < \varepsilon; A\ \text{je limita posloupnosti}$

mám podle definice spočítat limitu posloupnosti pro $\{\frac{n+1}{n+2}\}_0^\infty$ což vím, že je $1$ jen nevím, jak to mám spočítat podle té definice (já si to vzal selským rozumem... koeficienty mohu zahodit, když tam mám to $n \rightarrow \infty$ , a pak mi výjde triviálně $1$ )

díky za radu

EDIT: posloupnosti, byla špatně napsána

Eratosthenes · 18. 10. 2013 18:04

↑ VojtechSejkora:

tam asi má být

$\{\frac{n+1}{n+2}\}_0^\infty$

Přesně podle té definice: V našem případě je A=1. A ty musíš ke každému číslu epsilon najít index k takový, že

$1-\varepsilon < \frac{k+1}{k+2}$

Rumburak

↑ VojtechSejkora:

Ahoj.

Máš dvě cesty:

1) Odhadnout, že $\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n+2} = 1$ , a pak z definice limity dokázat, že tomu tak opravdu je.

2) Netušit nic o hodnotě $A := \lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n+2}$ a na základě definice limity ji spočítat.

Ukážeme si postup pro tu druhou cestu. Po substituci $n+2 = m$ máme tedy zjistit hodnotu

(0) $A := \lim_{m \to \infty}\frac{m-1}{m} = \lim_{m \to \infty}$1 - \frac{1}{m}$$ ,

pokud tato limita existuje a je konečná.

Chceme tedy nalézt reaálné číslo $A$ takové, aby k libovolnému $\varepsilon > 0$ existovalo $D > 0$ s vlastností

(1) $m > D \Rightarrow \left| $1 - \frac{1}{m}$ - A\right|< \varepsilon$

(která je závislá na parametru $\varepsilon$ ), přesně v souladu s definicí formule (0). Úpravami druhé nerovnosti z (1) dostáváme

$-\varepsilon < 1 -A - \frac{1}{m} < \varepsilon$ ,
(2) $-\varepsilon + \frac{1}{m} < 1 -A < \varepsilon + \frac{1}{m}$ .

Pokud $m > 0$ , jak uvažujeme, potom $- \frac{1}{m} < \frac{1}{m}$ a z (2) dále plyne

$-\varepsilon - \frac{1}{m} < 1 -A < \varepsilon + \frac{1}{m}$ .
$-$\varepsilon + \frac{1}{m}$ < 1 -A < \varepsilon + \frac{1}{m}$ ,
(3) $0 \le |1-A| < \varepsilon + \frac{1}{m}$ .

Nyní zvolme $h > 0$ a položme $\varepsilon = \frac{1}{2}\,h$ . Předpokládejme, že $D > 0$ je libovolné číslo s vlastností (1).
Snadno nahlédneme, že má-li $D > 0$ vlastnost (1), potom výrok (1) bude platit i tehdy, nahradíme-li v něm číslo $D$
libovolným číslem $D' > D$ , takže potom i číslo $D'$ bude mít vlastnost (1). Můžeme tedy rovnou předpokládat,
že jsme vzali už číslo $D$ dostatečně velké - tak, aby navíc platilo $D > \frac{1}{\varepsilon}$ . Potom totiž pro $m > D$ bude

$\varepsilon + \frac{1}{m} < \varepsilon + \frac{1}{D} < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon = h$ ,

dle (3) pak $0 \le |1-A| < h$ .

Celkem jsme tím dokázali větu:

(V) Platí-li výrok (0) , potom pro libovolné $h > 0$ je $0 \le |1-A| < h$ , tedy nutně $A = 1$ .

Ale nijak tím není dokázáno, že výrok (0) skutečně platí - to by se mělo provést v dalším kroku, tedy cestou 1,
kterou naznačil už kolega Eratosthenes.

vanok · 19. 10. 2013 15:21

Pozdravujem ↑ Rumburak:,
Alebo pouzit ak je to povolene v cviceni ( no ale odchadzame od definicie) ze ide o rastucu ohranicenu postupnost.

VojtechSejkora

↑ Rumburak:
ještě si to budu muset projít, ale k té 1) pokud jsem pochopil, co se tam píše, tak to je právě ta definice limity, jen s tím, že jsme dosadil za ntý člen ne?

ale jak na to koukám, tak vážně nechápu tento krok
$-$\varepsilon + \frac{1}{m}$ < 1 -A < \varepsilon + \frac{1}{m}$
$0 \le |1-A| < \varepsilon + \frac{1}{m}$

jak se tam najednou vzala ta nula :-o

a nebo to je díky té abs?

Jozef3 · 19. 10. 2013 19:31

↑ VojtechSejkora:
Ano, ta nula se tam objevila proto, že absolutní hodnota je vždy nezáporná. Dále v tom kroku využil kolega rovnost
$|-(\varepsilon+ \frac{1}{m})|=|\varepsilon +\frac{1}{m}|$ .
Dále k té 1): Pokud uhádnete, že limita oné posloupnosti má být 1, snadno pak k zadanému epsilon najdete hledané n, a sice:
$n>\frac{1}{\varepsilon }+2$ .
Račte se o tom přesvědčit vyřešením nerovnice, kterou poradil kolega Eratosthenes.

VojtechSejkora · 20. 10. 2013 01:26

↑ Jozef3:

njn, ale na druhou stranu, ten postup ↑ Rumburak: je úplně zbytečný a složitý, protože k tomu, k čemu došel, se dojde celkem snadno pouhým dosazením do definice a už nemusí tam dokazovat takovou spoustu dalších věcí ne?

btw. u 2) má kolega chybu $- \frac{1}{m} < \frac{1}{m}$ je sice pravdou, ale do rovnice to dosadit nemůžu, protože pak bych při dokzování, že $1 < 0 < 5$ mohl použít to, že $-1<1$ a udělat z toho $-1<0<5$

takže by to asi mělo být nějak takto ne?
$\forall \varepsilon > 0: \exists n \in \mathbb{N} : \forall k \geq n : \left| \frac{n+1}{n+2} - A \right| < \varepsilon; A\ \text{je limita posloupnosti}$
$-\varepsilon < 1-\frac{1}{n+2} - A < \varepsilon$
$-\varepsilon+\frac{1}{n+2} < 1 - A < \varepsilon+\frac{1}{n+2}$
$-\varepsilon+\frac{1}{n+2} <\left| 1 - A \right| < \varepsilon-\frac{1}{n+2}$
$0 \le \left| 1 - A \right| < \varepsilon-\frac{1}{n+2}$

Eratosthenes · 20. 10. 2013 19:04

↑ VojtechSejkora:

Ahoj,

abych se přiznal, není mi jasné, co se tady řeší. Definice limity posloupnosti je následující:

$\forall \varepsilon > 0: \exists n \in \mathbb{N} : \forall k \geq n : \left| a _k - A \right| < \varepsilon; A\ \text{je limita posloupnosti}$

Předpokládejme, že tato limita je A=1. Tento předpoklad vede k nerovnici, kterou jsem poradil zde: ↑ Eratosthenes:.

Jejím řešením dostaneme $k >\frac{1}{\varepsilon }+2$

Toto řešení přesně popisuje to, co vyžaduje definice limity, totiž jak k libovolnému kladnému epsilon najít to k resp. to hraniční n:

$n = \frac{1}{\varepsilon }+2$

Zvolme

$\varepsilon = 0.1$ .

Pak je

$n =\frac{1}{\varepsilon }+2=\frac{1} {0.1}+2 = 12$

Znamená to, že pro každé k>12 je |a_k-A|<0.1

Zvolme

$\varepsilon = 0.001$ .

Pak je

$n =\frac{1}{\varepsilon }+2=\frac{1} {0.001}+2 = 1002$

Znamená to, že pro každé k>1002 je |a_k-A|<0.001

Zvolme

$\varepsilon = 0.00000000001$ .

Pak je

$n =\frac{1}{\varepsilon }+2=\frac{1} {0.00000000001}+2 = 100000000002$

Znamená to, že pro každé k> 100000000002 je |a_k-A|<0.00000000001

Je snad jasné, že takto můžeme epsilony volit až do své smrti. Definice limity nic jiného nežádá.

VojtechSejkora

↑ Eratosthenes:

ano, u tebe dokazuješ, že limita posloupnosti je 1, nikoli, že bys počítal z definice, že limita je 1

tak pro jistotu, tak udělám obojí a bude to :-), tedy nejdrříve nějak ukáži, že limita je opravdu 1, a poté najdu pro libovolné $\varepsilon$ správné $n$ . :-)

Rumburak

↑ VojtechSejkora:

I.

njn, ale na druhou stranu, ten postup ↑ Rumburak: je úplně zbytečný a složitý, protože k tomu, k čemu došel, se dojde celkem snadno pouhým dosazením do definice a už nemusí tam dokazovat takovou spoustu dalších věcí ne?

Jasně, když tu limitu UHODNU a tudíž mám co dosadit "do definice", tak to provedu a ověřím, zda je definoce splněna.
To je opravdu jednodušší postup. Mně šlo - čístě akademicky - o to vyřešit situaci v případě, že limitu NEUHODNU.
Pak totiž nemám, co bych dosadil do definice, a musím na to jít "z druhé strany".

Definice limity má tvar ekvivalence dvou výroků , což jsou dvě implikace, z nichž musí platit obě, má-li být definice naplněna.
Každá z "cest" 1, 2, které jsem "definoval" v ↑ Rumburak:, řeší jednu z těchto dvou implikací.

II.

Tento postup

$-\varepsilon+\frac{1}{n+2} < 1 - A < \varepsilon+\frac{1}{n+2}$
$-\varepsilon+\frac{1}{n+2} <\left| 1 - A \right| < \varepsilon-\frac{1}{n+2}$
$0 \le \left| 1 - A \right| < \varepsilon-\frac{1}{n+2}$

v ↑ VojtechSejkora:

není dobře, protože nerovnost $\left| 1 - A \right| < \varepsilon-\frac{1}{n+2}$ na druhém řádku z předchozího neplyne.

Tento výrok

$\forall \varepsilon > 0: \exists n \in \mathbb{N} : \forall k \geq n : \left| \frac{n+1}{n+2} - A \right| < \varepsilon; A\ \text{je limita posloupnosti}$

také není dobře. Místo nerovnosti $\left| \frac{n+1}{n+2} - A \right| < \varepsilon$ měla být $\left| \frac{k+1}{k+2} - A \right| < \varepsilon$ .

Eratosthenes

↑ VojtechSejkora:

Vtip je v tom, že definice posloupnosti říká, co to ta limita je, ale neříká vůbec nic o tom, jak ji spočítat

Matematické Fórum

#1 18. 10. 2013 17:31 — Editoval VojtechSejkora (18. 10. 2013 18:13)

Limita posloupnosti spočítat dle definice

#2 18. 10. 2013 18:04

Re: Limita posloupnosti spočítat dle definice

#3 19. 10. 2013 15:04 — Editoval Rumburak (19. 10. 2013 15:29)

Re: Limita posloupnosti spočítat dle definice

#4 19. 10. 2013 15:21

Re: Limita posloupnosti spočítat dle definice

#5 19. 10. 2013 19:00 — Editoval VojtechSejkora (19. 10. 2013 19:03)

Re: Limita posloupnosti spočítat dle definice

#6 19. 10. 2013 19:31

Re: Limita posloupnosti spočítat dle definice

#7 20. 10. 2013 01:26

Re: Limita posloupnosti spočítat dle definice

#8 20. 10. 2013 19:04

Re: Limita posloupnosti spočítat dle definice

#9 21. 10. 2013 01:16 — Editoval VojtechSejkora (21. 10. 2013 01:33)

Re: Limita posloupnosti spočítat dle definice

#10 21. 10. 2013 09:50 — Editoval Rumburak (21. 10. 2013 10:01)

Re: Limita posloupnosti spočítat dle definice

#11 21. 10. 2013 11:21 — Editoval Eratosthenes (21. 10. 2013 11:21)

Re: Limita posloupnosti spočítat dle definice

Zápatí